Início: Claudia se aposentou, passe para o passo 1.

3ºpasso        ?                                                F

Se Roberta for promovida, então Antônio não será demitido.

    1ºpasso    V                                                            V

Se Cláudia se aposentar, então Douglas não perderá o seu posto.

    2ºpasso    V                                                     V

Se Douglas não perder seu posto, então Antônio será demitido.

A resolução  consiste em saber o jogo da tabela verdade, em uma premissa se -> então,  caso o ENTÃO seja FALSO, toda premissa fica falsa.

sendo assim, no passo 3, o valor da interrogação  é F também, ou seja, Roberta não foi promovida.

Analisando as Alternativas:

                F                                                  F

A) Antônio não será demitido ou Roberta será promovida.  (F ou F = F)

                 V                                                F

B) Roberta não foi promovida ou Cláudia não se aposentou. (V ou F = V)

                    F                                             F

C) Douglas perdeu seu posto e Antônio não será demitido.  (F e F = F)

                             V                                                        F

D) se Douglas não perder seu posto, então Cláudia não irá se aposentar.   ( V --> F = F)

                   F                                          V

E) Roberta foi promovida e Douglas não perdeu seu posto.  (F e V = F)

Agora ficou fácil né? a única alternativa cuja o resultado do jogo de sinais é verdadeiro é  LETRA B, porque ( V ou F = V).

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1 - Se Roberta for promovida, então Antônio não será demitido.
2 - Se Cláudia se aposentar, então Douglas não perderá o seu posto.
3 - Se Douglas não perder seu posto, então Antônio será demitido.
4 - Sabe-se que Cláudia se aposentou.

Deve-se iniciar a premissa mais simples que é a 4, pois as outras são compostas. Ela deve ser óbviamente V ou F. Começando com V ela não te trará nenhuma resposta para as alternativas, mas se inciar com F ela chega claramente a alternativa B.

1 - (F) R --> ~A (F)
2 - (F) C --> ~D (V)  
3 - (V) ~D --> A (V)
4 - (F) C

R: ~R, A, ~D, ~C --> Roberta não foi promovida, Cláudia não se aposentou, Douglas não perdeu o seu posto e Antonio será demitido.

Única opção que trás as informações corretas é a alternativa B: Roberta não foi promovida ou Cláudia não se aposentou. 

Espero ter ajudado.

Mais uma vez, salienta-se o ponto chave desta questao é saber que VERA FISHER é falsa.