Com base na lei fraca dos grandes números, Sn converge, em ...
Uma amostra aleatória simples de tamanho igual a , representada por X1,…, Xn , é retirada de uma distribuição qualquer com média 0 e variância 2.
A partir dessas informações, julgue o item a seguir, com
respeito à soma Sn = ∑nj=1X2j.
De acordo com a lei fraca dos grandes números, a média amostral converge em probabilidade para a média populacional. Dizer que converge em probabilidade significa que, quanto maior o tamanho amostral, mais a média amostral se aproximará da média populacional. A notação utilizada para expressar essa convergência é esta: X¯n−→Pμ.
Temos aqui uma amostra aleatória de tamanho n extraída de uma distribuição com média 0 e variância 2. Ou seja: E[X]=0
e Var[X]=2.
Estamos interessados na convergência da soma dos quadrados dessa variável aleatória:
Sn=∑X2j
Utilizando o conhecimento de que Var[X]=E[X2]−E[X]2, temos que
2=E[X2]−0^2
E[X2]=2
Portanto, o valor esperado de cada observação ao quadrado é igual a 2.
Porém, a questão afirma que a própria soma Sn converge em probabilidade para 2. Ora, não foi isso o que vimos. Como chegamos em E[X2]=2, sabemos que a média dessas somas convergirá para 2; isto é:
Sn/n−→P 2
Mas a soma em questão não converge. É só pensar que se trata de uma soma de quadrados (sempre números positivos). Assim, quanto maior o tamanho amostral, maior ficará essa soma.
Gabarito: ERRADO.
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