A covariância entre T e Z é igual a 1.
Diariamente, T mandados judiciais são distribuídos para certo oficial de justiça. Sabe-se que T = X + Y + Z , em que X representa o número diário de mandados de intimação, Y, a quantidade diária de mandados de citação e Z, o total diário de mandados de condução coercitiva. As variáveis aleatórias X, Y e Z são independentes e seguem a distribuição de Poisson com médias 5, 3 e 1, respectivamente.
Com respeito a essa situação hipotética e considerando que e denote a constante de Néper (número exponencial), julgue o próximo item.
Queremos calcular a covariância entre T e Z.
Usando a definição cov(A,B)=E[AB]−E[A]E[B], obtemos
cov(T,Z)=E[TZ]−E[T]E[Z]
Substituindo T=X+Y+Z,
=E[(X+Y+Z)Z]−E[T]E[Z]
Distribuindo:
=E[XZ]+E[YZ]+E[Z2]−E[T]E[Z]
Como Var[Z2]=E[Z2]−E[Z]2, segue que E[Z2]=Var[Z]+E[Z]2.
Além disso,sendo X, Y e Zindependentes,teremos E[XZ]=E[X]E[Z] e E[YZ]=E[Y]E[Z]. Atualizando a expressão:
=E[X]E[Z]+E[Y]E[Z]+Var[Z]+E[Z]2−E[T]E[Z]
Por fim, a soma entre variáveis independentes de Poisson segue distribuição de Poisson com parâmetro igual à soma dos parâmetros das variáveis somadas. Logo, T segue distribuição de Poisson com parâmetro 5+3+1=9.
Agora é só substituir, sabendo que na distribuição de Poisson tanto o valor esperado quanto a variância são iguais ao parâmetro:=1
A covariância entre T e Z é igual a 1.
Gabarito: CERTO.