O conjunto A tem 7 algarismos. O exercício pede um número de 4 algarismos repetidos ou não que estejam dentro do século XX (de 1901 a 2000). Então

__ x __ x __ x __

primeiro a primeira posição admite 1 ou o 2, caso seja o dois, só admite que os próximos números sejam 0 0 0 , então temos 1 combinação viável (2000):

1 x 1 x 1 x 1 = 1

agora, para o anos de 19xx temos a seguinte combinação:

1 x 1 x 7 x 7 = 49

Ou seja na primeira casa só pode ser um número 1, na segunda também só 1 número que é o 9. Na terceira e quarta casa pode ser qualquer combinação de números do conjunto {0, 1, 2, 5, 6, 8, 9} que contém 7 números.

Temos 49 combinações + 1 (2000) = 50

Porém ao calcular a combinação, inclui-se o ano de 1900 que não pertence ao século XX. Então retiramos 1 combinação

50 - 1 = 49

O ano deve começar com 19 (já que o único outro ano possível seria 2000, mas o algarismo "0" está disponível, enquanto o "2" e o "0" também estão).

Caso 1: Anos iniciados em 19 (1901 a 1999)

1º dígito (Milhar): Deve ser 1 (1 opção).

2º dígito (Centena): Deve ser 9 (1 opção).

3º dígito (Dezena): Pode ser qualquer algarismo do conjunto \(A\) (7 opções: 0, 1, 2, 5, 6, 8, 9).

4º dígito (Unidade): Pode ser qualquer algarismo do conjunto \(A\) (7 opções).

Cálculo: \(1 \times 1 \times 7 \times 7 = 49\) combinações.

Devemos excluir o ano 1900, pois o século XX começa em 1901. Como o "0" está no conjunto, a combinação "1900" foi contada. Subtraímos 1: \(49 - 1 = 48\).

Caso 2: O ano 2000

O algarismo 2 e o algarismo 0 pertencem ao conjunto \(A\). Portanto, o ano 2000 é uma formação válida.

Cálculo: +1 opção. [, , , , ]

Total: \(48 + 1 = 49\).

Alternativa correta: A 49.