Questões de Concurso
Sobre estimativa de máxima verossimilhança em estatística
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Seja (X1, X2, ..., Xn) uma amostra aleatória simples
retirada de uma variável aleatória X, em que X
segue a distribuição Normal, com média μ e
variância 
2, ou seja, X ~ N(μ ,2), com μ e 2 desconhecidos. Então, os estimadores de máxima
verossimilhança (EMV) não viesados, para a média μ e a variância 2 são, respectivamente, dados por:
Considerando que um modelo de regressão linear apresenta a forma y = X ∙ β + ε , em que y é o vetor resposta, X é a matriz de covariáveis, β é o vetor de parâmetros e ε é o erro do modelo, julgue o próximo item acerca do estimador de mínimos quadrados (EMQ) e do estimador de máxima verossimilhança (EMV) para esse modelo.
O EMQ requer menos suposições sobre distribuições que o EMV para ser consistente.
Considerando que um modelo de regressão linear apresenta a forma y = X ∙ β + ε , em que y é o vetor resposta, X é a matriz de covariáveis, β é o vetor de parâmetros e ε é o erro do modelo, julgue o próximo item acerca do estimador de mínimos quadrados (EMQ) e do estimador de máxima verossimilhança (EMV) para esse modelo.
Quando os erros são homoscedásticos e normalmente distribuídos, os estimadores EMQ e EMV são não viesados e atingem o limite inferior de Cramér-Rao.
Considerando que um modelo de regressão linear apresenta a forma y = X ∙ β + ε , em que y é o vetor resposta, X é a matriz de covariáveis, β é o vetor de parâmetros e ε é o erro do modelo, julgue o próximo item acerca do estimador de mínimos quadrados (EMQ) e do estimador de máxima verossimilhança (EMV) para esse modelo.
Para o EMV existir para uma regressão linear, a variável resposta deve seguir uma distribuição normal.
Considerando que um modelo de regressão linear apresenta a forma y = X ∙ β + ε , em que y é o vetor resposta, X é a matriz de covariáveis, β é o vetor de parâmetros e ε é o erro do modelo, julgue o próximo item acerca do estimador de mínimos quadrados (EMQ) e do estimador de máxima verossimilhança (EMV) para esse modelo.
O EMQ minimiza a soma do quadrado dos resíduos, independentemente da distribuição dos dados.
Sob a suposição de erros com distribuição normal e variância constante, o EMQ e o EMV para β são idênticos.
Acerca de estimadores pontuais, julgue o item a seguir.
O método dos momentos e o método da máxima verossimilhança fornecem os mesmos estimadores.
Em estudo conduzido acerca da consonância dos preços praticados pelas seguradoras com a estrutura atuarial de risco, um analista concluiu que a distribuição de probabilidade dos prêmios (em R$) cobrados para veículos de perfil de baixo risco pode ser representada por uma variável aleatória contínua X, cuja função de densidade de probabilidade é representada por
em que x ≥ R$ 2.500, e α é o parâmetro de forma conhecido como índice de Pareto.
Com base nessas informações, julgue o próximo item.
O estimador de máxima verossimilhança para o índice de Pareto α é dado em função da média dos valores dos prêmios observados em uma amostra aleatória simples.
Em estudo conduzido acerca da consonância dos preços praticados pelas seguradoras com a estrutura atuarial de risco, um analista concluiu que a distribuição de probabilidade dos prêmios (em R$) cobrados para veículos de perfil de baixo risco pode ser representada por uma variável aleatória contínua X, cuja função de densidade de probabilidade é representada por
em que x ≥ R$ 2.500, e α é o parâmetro de forma conhecido como índice de Pareto.
Com base nessas informações, julgue o próximo item.
O erro padrão teórico do estimador de máxima
verossimilhança de 
é igual a α/√n, em que n representa
um tamanho de amostra suficientemente grande.
Com base nas informações fornecidas e no modelo que foi ajustado, assinale a afirmativa INCORRETA.
Em relação às informações precedentes, julgue o próximo item, considerando que o percentil 95% de uma distribuição F, com 1 grau de liberdade no numerador e 47 graus de liberdade no denominador, é igual a 4,05, e que o percentil 95% de uma distribuição qui-quadrado com 47 graus de liberdade é 64.
Se ε segue uma distribuição normal, o estimador de máxima verossimilhança e o estimador de mínimos quadrados geram as mesmas estimativas para α e β.
Tendo como referência essas informações, julgue o item que se segue.
X(n) ∗ (1 + 1/n) é o estimador não viesado de variância mínima para θ.
Tendo como referência essas informações, julgue o item que se segue.
O estimador do método de momentos para θ é duas vezes a média amostral. Esse estimador é não viesado e não é consistente.
Tendo como referência essas informações, julgue o item que se segue.
X(n) é o estimador de máxima verossimilhança para θ. Esse estimador é viesado e não é consistente.
Tendo como referência essas informações, julgue o item que se segue.
T(X1, ..., Xn) = X(n) não é uma estatística suficiente para θ.
Supondo que Tn seja o estimador de máxima verossimilhança de τ, que a população pertença à família exponencial e que o tamanho da amostra n seja suficientemente grande, então a quantidade pivotal
segue aproximadamente a distribuição normal padrão. I. Se X1, X2, ... Xn é uma amostra aleatória de uma densidade f parametrizada por um parâmetro θ, então uma estatística S é suficiente se e somente se a distribuição condicional de X1, X2, ... Xn dado S = s é independente de θ para todo valor s de S.
II. Se X1, X2, ... Xn é uma amostra aleatória de uma densidade f parametrizada por um parâmetro θ, uma estatística S = s(X1, X2, ... Xn) é suficiente se e somente se a densidade conjunta de X1, X2, ... Xn fatora como uma função g(s; θ) não negativa que depende de x1, x2, ... xn apenas por meio de s multiplicada por uma função h(x1, x2, ... xn) não negativa e independente de θ.
III. Um estimador de máxima verossimilhança de um parâmetro θ só depende da amostra por meio de uma estatística suficiente.
Está correto o que se afirma em
A seguinte amostra aleatória simples foi observada de uma distribuição Bernoulli(p):
1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1
Nesse caso, a estimativa de máxima verossimilhança de p é igual a
Sejam:
Em relação à estimação de μ e de σ2 , avalie se as seguintes afirmativas são verdadeiras (V) ou falsas (F).
( )
é estimador não tendencioso de variância uniformemente mínima de μ.
( ) S2 é estimador não tendencioso de σ2.
( ) é estimador de máxima verossimilhança de μ.
( ) S2 é estimador de máxima verossimilhança de σ2.
As afirmativas são, respectivamente,
O estimador de máxima verossimilhança de θ é dado por
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