Considere X₁, X₂, ..., X_n uma amostra aleatória de uma distribuição uniforme contínua no intervalo (0,θ), com θ > 0. Sabe-se que E(X) = θ/2. Pelo método dos momentos, o estimador de θ é:

Em uma análise de produtividade administrativa, deseja-se ajustar um modelo de regressão linear simples da forma Y = α + βX + ∈, em que X representa o número de servidores alocados em uma atividade e Y representa a quantidade de processos concluídos. Foram observados os seguintes valores: 

Assinale a alternativa que apresenta, aproximadamente, os valores de α e β. 

Certo mercado tem 12 ativos dos quais um número desconhecido desses ativos é de alto retorno, e o restante é de baixo retorno, em que {0, 1, 2, ...,1}. Um investidor realiza 5 sorteios aleatórios e independentes entre esses 12 ativos, sempre repondo o ativo sorteado antes do próximo sorteio, de modo que a composição do mercado seja sempre a mesma. Nos 5 sorteios realizados, o investidor observou 4 ativos de alto retorno e 1 ativo de baixo retorno.

Com base na situação precedente, assinale a opção que representa corretamente o valor de que torna mais provável o resultado observado pelo investidor nos 5 sorteios, utilizando o método de máxima verossimilhança.

Um Auditor-Fiscal da Receita Federal está utilizando um modelo de regressão linear simples para estimar a Receita Bruta de Vendas (Y) esperada de uma empresa varejista com base no seu Custo das Mercadorias Vendidas - CMV (X). A análise dos últimos 24 meses apresentou os seguintes resultados:

• Equação de Regressão: Ŷ = R$ 25.000,00 + 1,4X
• Coeficiente de Determinação R² = 0,92
• Erro Padrão da Estimativa: R$ 10.000,00

Durante o período de auditoria atual, o contribuinte declarou um CMV de R$ 50.000,00 e uma Receita Bruta de Vendas de R$ 105.000,00. Com base no modelo de regressão, pode-se afirmar que:

Considere o algoritmo a seguir.
S ← 0 ma ← 0
para rep = 1 até 100, incrementado rep a cada repetição
    ma ← ma + amostra(rep)
fim do para
ma ← ma/100
para rep = 1 até 100, incrementado rep a cada repetição
    S ← S + (amostra(rep) – ma)2
fim do para
S1 ← S/99 S2 ← S/100

Os valores de S1 e S2 obtidos pelo algoritmo acima a partir de 100 amostras são, respectivamente: 

Com relação ao método dos momentos na estimação de parâmetros, assinale a afirmativa correta. 

Em um estudo sobre a renda mensal de um determinado estrato da população, um pesquisador selecionou amostras aleatórias dessa população e, com base nelas, calculou estatísticas como a média e a variância amostrais. Considerando a Lei dos Grandes Números (LGN) e o Teorema Central do Limite (TCL), analise as afirmativas a seguir e assinale (V) para a verdadeira e (F) para a falsa.

( ) Pela LGN, a média amostral da renda mensal tende a se aproximar da média da renda mensal da população, conforme o tamanho da amostra aumenta.
( ) O TCL estabelece que, conforme o tamanho da amostra aumenta a distribuição da renda mensal, tende a se aproximar de uma distribuição normal.
( ) Segundo o TCL a variância da renda mensal diminui conforme o aumento do tamanho da amostra.

As afirmativas são, respectivamente, 

Para estimar um parâmetro associado a uma variável aleatória, foi adotado o seguinte procedimento:

1. Inicialmente, foi definida uma distribuição de probabilidade para o parâmetro de interesse com base em conhecimento prévio, sem considerar os dados da amostra.
2. Em seguida, foram coletadas observações da variável aleatória e especificado um modelo estatístico que descreve como esses dados se relacionam com o parâmetro de interesse.
3. Depois disso, a distribuição inicialmente atribuída ao parâmetro foi revista à luz das informações fornecidas pela amostra observada.
4. Por fim, a partir da distribuição obtida após essa revisão, foram calculadas estimativas da média e da variância do parâmetro de interesse.

O procedimento descrito corresponde ao(à) 

Considere os seguintes estimadores para uma média populacional μ , baseados em uma amostra aleatória X₁ ,X₂ ,...,X_n , 12 n onde n>1 :

Assumindo que a variância populacional é finita, a respeito das propriedades de μ1 e μ2 , é INCORRETO afirmar que: 

Uma amostra aleatória de tamanho n = 100 de uma população normalmente distribuída com média μ e variância σ² forneceu os seguintes resultados: 

Deseja-se testar:

H₀: μ ≤ 80versus H₁: μ > 80,

ao nível de significância de 5%. A variância populacional é desconhecida.

Assinale a alternativa que apresenta corretamente o critério de decisão baseado na estatística t (ou equivalentemente na média amostral xˉ) e a decisão correspondente: 

Um analista de confiabilidade está interessado em estudar o tempo médio entre falhas consecutivas (TBF – Time Between Failures) em equipamentos hospitalares de alta complexidade. Para modelar essa variável aleatória contínua e não negativa, a distribuição Exponencial é frequentemente utilizada. Em relação às propriedades da distribuição Exponencial e suas aplicações em análise de confiabilidade, julgue os itens a seguir:

I. Se T ~ Exponencial (λ) (com função densidade ƒ(t) = λ e^−λt , t ≥ 0, e média 1/λ), então a função de risco (taxa de falha) é constante e igual a λ, o que caracteriza ausência de memória: P (T > t + s ∣ T > s) = P (T > t).

II. A distribuição Exponencial é o único modelo contínuo com propriedade de falta de memória, e isso a torna inadequada para modelar equipamentos com desgaste (taxa de falha crescente), mas adequada para falhas aleatórias não relacionadas ao envelhecimento.

III. Se o número de falhas em um intervalo de tempo segue um processo de Poisson homogêneo com taxa λ, então o tempo entre falhas consecutivas segue uma distribuição Exponencial com média 1/λ. Além disso, o tempo até a k-ésima falha segue uma distribuição Gama (Erlang) com parâmetros k e λ.

IV. Para uma amostra aleatória T₁, T₂, … , T_n i.i.d. Exponencial(λ), o estimador de máxima verossimilhança de λ é λ = 1/Tˉ, que é um estimador não viesado para λ.

V. O coeficiente de variação (CV) da distribuição Exponencial é igual a 1, independentemente do valor de λ, o que significa que o desvio padrão é igual à média. Esse é um critério diagnóstico útil para verificar a adequação do modelo exponencial a dados empíricos.

Assinale a alternativa com a sequência CORRETA (V/F):

Em uma análise de desempenho institucional, um estatístico precisa comparar a dispersão de indicadores de produtividade entre departamentos com médias e escalas distintas. Ele utiliza inicialmente o desvio padrão amostral. Em relação às propriedades, limitações e relações do desvio padrão com outras medidas estatísticas, julgue os itens a seguir:

I. Se os dados de um departamento seguem uma distribuição assimétrica à direita, o desvio padrão é necessariamente maior do que o desvio médio absoluto (MAD), devido à maior ponderação dos desvios quadráticos.

II. O coeficiente de variação (CV) é uma medida adimensional que permite comparar dispersão entre variáveis com diferentes unidades, mas sua utilização é inadequada quando a média se aproxima de zero, independentemente da natureza dos dados.

III. Para uma amostra aleatória simples de uma população com variância finita, o desvio padrão amostral (com correção de Bessel) é um estimador não viesado do desvio padrão populacional.

IV. Se todos os valores de um indicador forem transformados por Y = α + bX, com b > 0, o desvio padrão de Y é igual a b vezes o desvio padrão de X, independentemente do valor de α.

V. Em qualquer distribuição com média finita e variância finita, a desigualdade de Chebyshev garante que a proporção de observações dentro de k desvios padrão da média é de pelo menos 1 − 1/k² , sendo essa uma cota superior para qualquer distribuição.

Assinale a alternativa com a sequência CORRETA (V/F):

Sabe-se que a eficiência de um estimador , não viesado para o parâmetro , é dado por:

                                                                                       

Considerando a expressão apresentada, é correto afirmar que as medidas LI () e Var [] são respectivamente  

Seja (X₁, X₂, ..., X_n) uma amostra aleatória simples retirada de uma variável aleatória X, em que X segue a distribuição Normal, com média μ e variância ², ou seja, X ~ N(μ ,²), com μ e ² desconhecidos. Então, os estimadores de máxima verossimilhança (EMV) não viesados, para a média μ e a variância ² são, respectivamente, dados por:

Considerando o valor médio, o intervalo de confiança do resultado construído com 95% de limite de confiança e a tabela t-Student a seguir, assinale a alternativa que apresenta o valor mais próximo da menor concentração de água no querosene de aviação, em ppm, presente nesse lote, calculada e informada pelo químico no relatório.

Se X é uma variável aleatória com distribuição uniforme entre 0 e 1, com esperança μ = 1 e variância , finitas, e X₁, X₂,…,X_n, é uma amostra aleatória i.i.d. de X, com a média amostral representada por  a aproximação para  será:

Uma meta-análise foi conduzida para avaliar a eficácia do medicamento A no tratamento da depressão em crianças e adolescentes, com base em 10 ensaios clínicos controlados randomizados duplo-cego independentes. Os tamanhos de efeito foram expressos como diferenças médias padronizadas (DMP) e analisados utilizando o modelo de efeitos aleatórios. O efeito combinado estimado foi de DMP = -0,25 (IC_95%: -0,51 a -0,34). A análise de heterogeneidade indicou baixa variação entre os estudos, com Q = 9,32 (p = 0,41), I² = 3,5%, e Tau² = 0,0006. Na descrição dos resultados, os autores incluíram o gráfico a seguir:

Com base nas informações fornecidas sobre o estudo, assinale a alternativa correta.