Os estimadores E' = são 2 estimadores justos utilizados para a média µ de uma população normal. corresponde a uma amostra aleatória de tamanho 3 desta população e m e n são parâmetros pertencentes aos números reais. O valor de (m + n) é igual a

Uma amostra aleatória de 9 elementos foi extraída de uma população normal de tamanho infinito com média µ e variância desconhecida. O desvio padrão da amostra apresentou o valor de 1,25 e o intervalo de confiança de (1 - a) para µ: [14, 16] fo obtido com base nesta amostra. Sabe-se que para obtenção deste intervalo utilizou-se a distribuição t de Student com os correspondentes graus de liberdade, em que a probabilidade P (- T= t = T) = (1 - a). Se T > 0, então o valor de T é

Uma população normal e de tamanho infinito apresenta uma média µ e variância populacional igual a 0,81. Pretende-se obter, a partir de uma amostra aleatória de tamanho 144 dessa população, um intervalo de confiança de 95% para µ. Considerando na distribuição normal padrão (Z) as probabilidades P(z > 1,96) = 0,025 e P(z > 1,64) = 0,05, o intervalo apresenta uma amplitude de

O Teorema Central do Limite é a principal justificativa para o uso da amostragem em problemas que envolvam populações infinitas, ou mesmo em populações finitas, porém, muito grandes quando comparadas ao tamanho da amostra. O resultado de um censo apontou que, em uma cidade com 25.000 famílias, a renda média era de R$ 3.170,00 e o desvio-padrão, de R$ 2.000,00. Um pesquisador utilizou uma amostra aleatória simples de 400 famílias daquela população e obteve média de R$ 3.070,00 com desvio-padrão de R$ 1.920,00.
Ao fazer um histograma para a renda média das 400 famílias amostradas, +1 unidade-padrão (z) estará associado ao valor

O dono de uma loja de artigos esportivos decidiu fazer uma pesquisa por amostragem com 500 famílias residentes na área de abrangência do seu estabelecimento. 
Após consultar uma empresa especializada em pesquisas mercadológicas e verificar as condições necessárias para realizar a pesquisa, decidiu-se pela amostragem aleatória simples. 
Admitindo-se um erro amostral não superior a 10%, assinale a opção que apresenta qual deve ser o tamanho mínimo da amostra essa pesquisa

Para testar a hipótese de que a proporção de pessoas com certa anomalia numa população era maior do que 10%, uma amostra aleatória simples de 400 indivíduos foi observada e mostrou, que, dos 400, 48 mostravam a anomalia. O valor-p (significância) associado com esses dados, se usarmos a estatística de teste usual é aproximadamente igual a

Suponha que a seguinte amostra aleatória simples de uma variável aleatória populacional bivariada contínua (X , Y) seja observada:

(30,2, 16,1), (20,5, 18,6), (42,5, 14,4), (29,0, 19,5)

Deseja-se testar a hipótese de que X e Y são independentes, mas não se pode supor normalidade para a distribuição de probabilidades populacional, de modo que uma alternativa é usar o coeficiente de Kendall como estatística de teste. O valor desse coeficiente para os dados apresentados é:

Considere que para testar H₀: µ ≤ 20 contra H1: µ > 20, em que µ é a média de uma distribuição normal com variância 1, uma amostra aleatória simples de tamanho 100 seja obtida e o critério uniformemente mais poderoso de tamanho α = 0,05 seja usado. O poder desse teste se µ = 20,3 é aproximadamente igual a:

Considere uma amostra aleatória simples de vetores X₁, X₂, ... X_n de uma distribuição normal multivariada com vetor de médias µ com p componentes (p < n) e matriz de covariâncias Σ. Avalie as afirmativas a seguir a respeito da estimação desses parâmetros:

I. O estimador de máxima verossimilhança de µ é o vetor de médias amostrais .

II. O estimador de máxima verossimilhança de Σ é , (em que A^t simboliza a matriz transposta da matriz A, como usual)

III. são não viesados para µ e Σ respectivamente.

IV. X tem distribuição normal multivariada com média µ e matriz de covariâncias (1/n) Σ .

V. são independentes.

A quantidade de afirmativas apresentadas corretas é igual a:

Considere uma amostra aleatória simples X₁, X₂, ..., X_n de uma densidade com parâmetro θ e imagine que você conheça um estimador T não viesado qualquer para θ e a estatística S, única estatística suficiente para essa densidade. Nesse caso, você pode obter um estimador não viesado de variância uniformemente mínima para θ definindo um novo estimador T* tal que

Uma amostra aleatória simples x₁, x₂, ..., x₂₅, de tamanho 25, de uma variável populacional normalmente distribuída com média µ e variância σ² , ambas desconhecidas, foi observada e mostrou os seguintes dados: 

             

O intervalo de 95% de confiança usual para µ é dado aproximadamente por: 

Avalie se as afirmativas a seguir, sobre estatísticas suficientes, estão corretas:

I. Se X₁, X₂, ..., X_n é amostra aleatória simples de uma variável populacional com distribuição Bernouilli com parâmetro p então é estatística suficiente.

II. Se X_1, X₂, ..., X_n é amostra aleatória simples de uma variável populacional com distribuição Poisson com parâmetro λ então é estatística suficiente.

III. Se X1, X2, ..., Xn é amostra aleatória simples de uma variável populacional com distribuição exponencial com parâmetro λ então é estatística suficiente.

IV. Se X₁, X₂, ..., X_n é amostra aleatória simples de uma variável populacional com distribuição Normal com parâmetros µ ε σ² então são estatísticas conjuntamente suficientes.

A quantidade de afirmativas apresentadas corretas é igual a:

Considere uma amostra aleatória simples X₁, X₂, X₃, X₄, de tamanho 4, de uma variável populacional com média µ e os quatro estimadores de µ a seguir:

T₁ = (X₁ + X₂ + X₃ + X₄)/4

T₂ = X₁

T₃ = 3X₁ – X₂ + 2X₃ – 4X₄

T₄ = X₁ + X₂ + X₃ – 2X₄

A quantidade de estimadores apresentados que são não viesados para µ é igual a: