A IMO premia a metade dos participantes com medalhas. Essas medalhas – ouro, prata e bronze – são concedidas, respectivamente, na proporção de 1:2:3. Para incentivar o maior número possível de alunos a resolverem problemas completos, são concedidos certificados de menção honrosa àqueles estudantes que não receberam medalha, mas obtiveram 7 (sete) pontos em pelo menos um problema.

Adaptado de: https://www.imo2017.org.br/sobre-a-imo.html

Obedecidas as regras, o percentual de candidatos que faz jus à medalha de bronze na IMO é

A figura a seguir ilustra uma haste AC articulada em B com as respectivas medidas horizontais e verticais referentes a uma das suas possíveis configurações.

A maior distância possível entre as extremidades A e C, em decímetros, vale

A cantina do Colégio Militar do Rio de Janeiro vende 96 kg de comida por dia, a 29 reais o quilo. Uma pesquisa de opinião revelou que, para cada real de aumento no preço, a cantina perderia 6 clientes, com o consumo médio de 500 g cada um. Qual deve ser o valor do quilo de comida para que a cantina tenha a maior receita possível?

Você sabe elevar números naturais terminados em 5 ao quadrado de forma rápida?

Observe o método:

Considere o número N5, sendo N natural. Então (N5) 2 vale M25, sendo M =N ∙ (N + 1).

Exemplos:

Utilizando o método temos:

45² = 2025, pois, para N = 4, teremos M = 4 ∙ 5 = 20.

105² = 11025, pois, para N =10, teremos M = 10 ∙ 11 = 110.

Baseado nessa ideia, qual dos números abaixo gera, nos naturais, uma raiz quadrada exata?

Observe o texto e a imagem abaixo:

“Thales de Mileto (625 a 545 ac) terá sido o primeiro a colocar a questão básica: ‘de que é feito o mundo e como funciona? ‘. A resposta não a procurava nos deuses, mas na observação da natureza.

Thales, que era comerciante, deslocava-se várias vezes ao Egipto. Numa dessas viagens foi desafiado a medir a altura da pirâmide de Quéops. ”

Para descobrir a altura da pirâmide, Thales valeu-se de uma estaca e das medidas das sombras e da base da pirâmide. A pirâmide de Quéops tem uma base quadrada de lado medindo 230 m e o comprimento de sua sombra mede 250 m. Sabendo que a estaca utilizada tem 2 m de comprimento e sua sombra 5 m, qual a altura encontrada por Thales?

“Para que seja possível medir a temperatura de um corpo, foi desenvolvido um aparelho chamado termômetro. O termômetro mais comum é o de mercúrio, que consiste em um vidro graduado com um bulbo de paredes finas, que é ligado a um tubo muito fino, chamado tubo capilar. Quando a temperatura do termômetro aumenta, as moléculas de mercúrio aumentam sua agitação, fazendo com que este se dilate, preenchendo o tubo capilar. Para cada altura atingida pelo mercúrio está associada uma temperatura.”

            http://www.sofisica.com.br/conteudos/Termologia/Termometria/escalas.php

As principais escalas termométricas são Kelvin (K), Celsius (ºC) e Fahrenheit (ºF). A escala Celsius é a mais utilizada e se relaciona com as outras através das funções: 

                        

Há uma temperatura na qual a soma dos valores numéricos que a representam, nas escalas Celsius e Kelvin, vale 317. Na escala Fahrenheit, essa temperatura é um valor situado no intervalo: 

Uma ponte metálica, em forma de arco de parábola, será construída. Sua sustentação será feita com seis pendurais metálicos, três de cada lado, distando 30 m um do outro, como ilustra a figura abaixo. Sabendo que a ponte tem 40 m de altura, quantos metros de pendurais serão necessários para a construção desta ponte?

Utilize o infográfico abaixo para responder à questão.

Em 27 de janeiro de 2017, no jornal Estadão, foi apresentada uma notícia sobre o aumento de casos de febre amarela no país.

“Subiu para 243 o número de casos confirmados de febre amarela no País. Do total de pacientes com a doença, 82 morreram. Há ainda outras 112 mortes suspeitas de terem sido provocadas pela infecção, mas que ainda estão sendo investigadas.

Os casos confirmados estão distribuídos em três estados: Minas, Espírito Santo e São Paulo. “

Tomando como referência os casos notificados de febre amarela em cada estado, pode-se afirmar que:

A Figura 1 representa um cubo de aresta 1 cm. Empilhando, como representado na Figura 2, oito cubos como aquele da Figura 1, podemos formar um cubo de aresta 2 cm. Da mesma maneira, empilhando, conforme a Figura 3, 27 cubos de aresta 1 cm, podemos formar um cubo de aresta 3 cm.


A Figura 4 mostra parte de um cubo de aresta 6 cm que ainda não foi formado por completo.

O número de cubos de aresta 1 cm que falta empilhar para completar o cubo de aresta 6 cm é

A figura a seguir apresenta uma linha poligonal construída sobre uma malha quadriculada em que cada quadrado tem lado de medida 1 cm.


Utilizando-se a figura acima como padrão de construção, pode-se produzir linhas poligonais mais extensas como a representada a seguir.


Pretende-se construir uma linha poligonal de 10 metros de comprimento. Porém, com esse perímetro, a extremidade à direita dessa linha poligonal não corresponde ao padrão completo. A opção que contém a última figura desenhada nessa poligonal é

Trezentos alunos do CMRJ responderam a uma pesquisa sobre sua preferência em relação aos diversos esportes praticados nas aulas de Educação Física. Os alunos deveriam indicar o esporte que mais gostavam, não sendo possível escolher dois ou mais esportes. A tabela a seguir consolida o resultado da pesquisa.


Os dados da tabela foram representados por meio de um gráfico de colunas divididas igualmente por retas horizontais. A opção que representa esse gráfico é

José pratica atividade física regularmente. Ele gosta de correr ao redor do estádio do Maracanã pela manhã. Ao iniciar sua corrida, viu que horas seu relógio marcava (figura 1). Após três voltas completas, olhou novamente seu relógio (figura 2).


Suponha que ele tenha gastado o mesmo tempo em cada uma das três voltas; o tempo necessário para completar uma volta foi de

Em uma corrida seletiva para uma maratona, existem 2500 atletas inscritos. Metade desses atletas são homens. Além disso, sabemos que são profissionais 4/5 dos homens e 7/10 das mulheres. Sabemos, também, que foram classificados para a maratona olímpica, entre os homens, apenas 1/4 dos atletas profissionais e 3/25 dos atletas amadores. Entre as mulheres, só 9/35 das profissionais e 13/75 das amadoras conseguiram classificação. O número total de atletas classificados nessa corrida é

O valor da expressão é

Calcule e assinale o valor da multiplicação dos 30 fatores abaixo:

Considere as equivalências:

Dessa forma, os retângulos abaixo que possuem desenhos que correspondem a quantidades equivalentes são

Ana Luiza e Júlia estão jogando o “jogo do troca”. As regras desse jogo são as seguintes:
1. As jogadoras jogam “par ou ímpar”. 2. Cada vez que uma jogadora vence o “par ou ímpar”, ganha uma ficha amarela. 2. Três fichas amarelas devem ser trocadas por uma ficha vermelha. 3. Três fichas vermelhas devem ser trocadas por uma azul. 4. Três fichas azuis devem ser trocadas por uma verde.
Ganha o jogo a menina que conseguir a primeira ficha verde. Para que isso aconteça, a vencedora do “jogo do troca” terá ganhado no “par ou ímpar”

Três irmãos deveriam dividir entre si os biscoitos de uma cesta. Dona Joana, a mãe deles, não lhes disse quantos biscoitos havia na cesta; disse apenas que a divisão seria feita pela manhã, ao acordarem, conforme a seguinte regra: “o primeiro a acordar fica com metade dos biscoitos; o segundo fica com a terça parte do que restar; o último, fica com a quarta parte do que restar.”
Apesar de acordarem em horários diferentes, cada um dos irmãos acreditou que era o primeiro a acordar e pegou a metade dos biscoitos que achou na cesta. Dessa maneira, o irmão que acordou por último pegou seis biscoitos. Se tivessem seguido a regra de dona Joana corretamente

Se numa fração aumentarmos o numerador em 25% e diminuirmos o denominador em 50%, teremos um número

Um torneio de xadrez terá alunos de escolas militares. O Colégio Militar de Campo Grande (CMCG) levará 120 alunos; o Colégio Militar do Rio de Janeiro (CMRJ), 180; e o Colégio Militar de Brasília (CMB), 252. Esses alunos serão divididos em grupos, de modo que cada grupo tenha representantes das três escolas, e que o número de alunos de cada escola seja o mesmo em cada grupo. Dessa maneira, o maior número de grupos que podem ser formados é