Resolução Comentada – Geometria Analítica e Sólido de Revolução

1. Entendimento do problema:

O objetivo é calcular o volume gerado pela rotação de um triângulo definido pelos pontos O(0,0), C(10,4) e P(7+3√13, 6) em torno da reta vertical x = 7, sendo que P depende do centro e raio de uma circunferência passando por A, B e C.

2. Cálculo do centro e raio da circunferência:

A equação geral da circunferência é $(x-x_0){^}^2+(y-y_0){^}^2=r^2$. Utilizando as mediatrizes dos lados do triângulo formado por A, B e C, calculamos o centro como $(7,6)$.

O raio é $r=\sqrt{{(}^5}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$.

3. Coordenadas do ponto P:

$P=(7+3\sqrt{13},6)$

4. Cálculo do volume

O triângulo O-C-P é rotacionado em torno de $x=7$. Utilizamos o método dos discos, montando a integral em função de y:

A área de uma secção, a cada altura y, é a diferença entre os quadrados das distâncias (do eixo de rotação até cada lado do triângulo):

$V=\pi \int y_1{y}^2[{x\_C\left(y\right)-7}^2-{x\_P\left(y\right)-7}^2]\mathrm{dy}$

Calculando cuidadosamente os limites e as funções dos lados entre y = 0 e y = 6, chegamos ao volume final:

$V=6(13+\sqrt{13})\pi$

Atenção! O segredo da questão está em montar corretamente as equações do triângulo e escolher corretamente o eixo de rotação, pontos clássicos de “pegadinha” em provas! Pratique sempre o uso das fórmulas paramétricas e do método dos discos no cálculo de sólidos de revolução.

Alternativa correta: C) 6(13 + √13)π

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EN o filho chora e a mãe não vê

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