Temos a equação: x⁴ + 4x³ + 8x² + 8x + 4 = 0

Observe que: x⁴ + 4x³ + 8x² + 8x + 4 = (x² + 2x + 2)²

Logo, (x² + 2x + 2)² = 0

Basta resolver:

x² + 2x + 2 = 0

Δ = 2² − 4·1·2 = −4

Assim, x = (-2 ± √(-4))/2 = -1 ± i

As raízes são:

r₁ = -1 + i

r₂ = -1 - i

Como cada uma possui multiplicidade 2, devemos considerar ambas duas vezes.

Calculando os inversos:

1/(-1 + i) = (-1 - i)/2

1/(-1 - i) = (-1 + i)/2

Agora, elevando ao cubo:

[(-1 - i)/2]³ = (1 - i)/4

[(-1 + i)/2]³ = (1 + i)/4

Somando os cubos:

(1 - i)/4 + (1 + i)/4 = 2/4 = 1/2

Como cada raiz é dupla:

Σ(1/r³) = 2 × (1/2) = 1

O enunciado informa que o raio do cilindro é o dobro dessa soma: r = 2 × 1 = 2 m

Sabendo que a altura do cilindro é h = 3 m, a área lateral é:

A = 2πrh

A = 2π · 2 · 3

A = 12π m²

Resposta: 12π m².