Observe a figura a seguir. A ...
Observe a figura a seguir.
A figura acima mostra um triângulo isósceles ABC, com BÂC = 36° e AB = AC = 1m , a bissetriz interna de B
corta AC em D. Por D, traçam-se as distâncias até AB e
até BC, determinando os pontos E e F, respectivamente.
Sendo assim, é correto afirmar que o valor do produto DE/AD.DF/BF é
Deve-se, em primeiro lugar, identificar que:
1) Como AC=AB, os ângulos da base são iguais e, a partir de uma pequena equação com o 36, podemos identificá-los como 72.
2) A partir disso, vê-se que a bissetriz interna forma dois ângulos de 36, sendo possível dizer que cab=abd e o lado AD é igual ao lado BD.
3) Novamente, se fizermos uma análise dos ângulos, identificaremos bdc=72 (e, com isso, vemos que o triangulo BCD é isósceles e BD=BC=AD), ade=54 e edb=54 e bdf=54.
3) chamaremos os lado AD, BC e BD de x. Podemos dizer que DC=1-x e assim traçar uma semelhança entre os triângulos isósceles BCD e ABC (1/x=x/1-x), achando que x= -1+R5/2, assim já identificando o AD que a questão pede.
4) após isso, nota-se que a mediana DE divide o lado oposto e 1/2 e 1/2 e que, por dividirem os mesmos ângulos e hipotenusa, os triângulos BFD e BDE são congruentes, isto é BE=BF=1/2. Já temos o BF que a questão pede. Com essa mesma análise de congruência, vemos que DF=DE, e se chamarmos esses lados de y, vemos que a questão pede y^2 no numerador (de.df=y.y=y^2) . Sendo assim, podemos descobrir y^2 através do Teorema de Pitágoras no triângulo BDE: y^2+(1^2/2)^2= (-1+R5/2)^2
5) acharemos que y^2= (-2R5+5)/4 e já podemos resolver a operação que o enunciado pede: [(-2R5+5)/4]/[(-1+R5/2) . 1/2]
6) Acharemos o resultado (-2R5+5)/(-1+R5) e devemos racionalizar, ou seja, multiplicar tanto o numerador quanto o denominador por (-1-R5) e depois multiplicar ambos novamente por -1, pois a equivalência da equação se mantém e a figura é plana, não podendo haver resultado negativo. Com isso, acha-se que a opção correta é a letra b
Maria, quem é esse R5 na sua resposta?