Uma equipe de cientistas decidiu iniciar uma cultura ...
• a cultura cresceu e ocupou uma área com o formato de um círculo; • o raio do círculo formado pela cultura de bactérias aumentou 10% a cada dia; • a concentração na cultura era de 1 000 bactérias por milímetro quadrado e não mudou significativamente com o tempo.
Considere que r representa o raio do círculo no primeiro dia, Q a quantidade de bactérias nessa cultura no decorrer do tempo e d o número de dias transcorridos.
Qual é a expressão que representa Q em função de r e d ?
GABARITO: B
Área do círculo: pi * r²
Segundo o texto, o raio aumenta 10% a cada dia, ou seja 110% = 1,1; em "d" dia teremos (1,1)^d-1 *r.
1000 = 10³ bactérias inicialmente, porém, apresenta-se constante, logo não "entra" na fórmula da área.
Nesse sentido, temos: Q= 10³ * ( (1,1)^d-1 * r ) * pi.
Thailson, poderia me explicar porque elevou a d-1 e não multiplicou por d-1? Por favor...
(... E por que é d-1, e não d?)
(Matemática não é meu forte).
Débora Maranhês, é exponencial, vamos deduzir o aumento nos quatro primeiros dias para assim concluirmos que se trata de uma exponencial.
1º dia : 1,1
2º dia: 1,1 * 1,1
3º dia: 1,1 * 1,1 * 1,1
4ºdia: 1,1 * 1,1 * 1,1 * 1,1
E assim por diante. Logo, tu generaliza (1,1)^d-1
ad = a1 x q^d-1
ad = pi x 1,1^d-1
Área = pi x raio^2
A = pi.(r x 1,1^d-1)^2
1000 = Q/pi.(r.1,1^d-1)^2
Q = 1000 x pi x (r x 1,1^d-1)^2
Q = 10^3.pi.(r.1,1^d-1)^2
Letra B
questão demoníaca
ele fez r*1,1 elevado a d-1 e não multiplicou porque se ele multiplicasse a conta daria errada. Por exemplo:
no primeiro dia o raio deve ser r, no entanto, se colocarmos na fórmula olha como fica a conta
r*1,1*(d-1)= r*1,1*(1-1)= r*0= 0
E o raio não pode ser zero no primeiro dia!
mas a fórmula com o expoente d-1 atende a regra geral do dia em função do raio, veja:
r*1,1^d-1= r*1,1*^1-1= r*1,1^0 ( qualquer coisa elevada a zero é 1) então r*1= r
obs: O * que estou usando é sinal de multiplicação pra quem se confundiu
Para quem ficou na dúvida do D-1
Pensem assim:
1°dia= r x 1,1 ^ 0 = 1 valor que iniciou
2°dia = r x 1,1 ^ 1 = 1,10 segundo dia
3°dia = r x 1,1 ^2 = 1,21 terceiro dia
4°dia= r x 1,1 ^3 = 1,331 quarto dia
A potência será elevada em um valor menos um, pois representa o primeiro dia.
1,1^D-1
Lembrando que
• Qualquer coisa elevado a ZERO é igual a UM.
• Qualquer coisa multiplicada por zero é zero independente da ordem a associação de fatores.
A cada dia (d) que se passar, o raio vai aumentar 10% (ou seja, multiplicar por 1,10). Portanto haverão multiplicações consecutivas e cumulativas no decorrer dos dias:
DIA 2 > r.1,10
DIA 3 > (r.1,10) . 1,10
DIA 4 > (r. 1,10 . 1,10) . 1,10 ... E assim por diante
Então, Você vai ter várias multiplicações do raio pelo 1,10 ao longo dos dias, exemplo: 1,10 . 1,10 . 1,10 = 1,10^3 (1,10 elevado a 3)
No primeiro dia, r não sofre aumento, então não se deve multiplicar por 1,10. Apenas a partir do segundo dia, por isso o d-1
Se é 1 dia: r
Se são 2 dias: r . (1,10)
Se são 3 dias: r. (1,10 . 1,10 ) >>>>>>>>>>>>>>> 3 dias = 2 multiplicações de 1,10 = 1,10^2
se são 4 dias: r. (1,10 . 1,10 . 1,10) >>>>>>>>>>>. 4 dias = 3 multiplicações de 1,10 = 1,10^3
se são 5 dias: r. (1,10 . 1,10 . 1,10 . 1,10) >>>>>>> 5 dias = 4 multiplicações de 1,10 = 1,10^4
1,10 sempre será elevado a um número que é menor em uma unidade do número de dias, mas como o número de dias é uma incógnita (d) você diz que 1,10 será elevado a d-1
Para provar:
se d= 3
1,10^d-1 >>>>> 1,10^3-1 >>>>> 1,10^2 >>>>> 1,10 . 1,10
Assim, como a área do circulo é 2.pi.r^2 e o r vai sofrer aumentos cumulativos todos os dias:
pi . r^2 . (1,10^d-1)
A concentração de bactérias é de 1000 (10^3) em uma área de 1mm^2
Quanto será em uma área de pi . r^2 . (1,10^d-1) mm^2?
REGRA DE TRÊS: 10^3 bact --- 1mm^2
x --- pi . r^2 . (1,10^d-1)
x = 10^3 . pi . (r (1,10)^d-1)^2
GABARITO LETRA B
1DiaR . 1,1^0
2diaR . 1,1^1
3diaR . 1,1^2
NdiaR . 1,1^d-1
Resolução Prof. Caju:
www.youtube.com/watch?v=s5XQs7-6JZk
Como pode tantas pessoas acertarem esse tipo de questão??
A quantidade de Bactérias (Q) tem por unidade bactérias por mm² ou seja existem x bactérias numa área de 1 mm² , nesse caso a questão diz que não varia significativamente, permanecendo 1000 bactérias por mm².
Outra informação importante que a questão nos traz é que a cultura cresceu e ocupou uma área com o formato de um círculo e o raio do círculo formado pela cultura de bactérias aumentou 10% a cada dia, ou seja terá 1,10 vezes maior a cada dia.
Para colocarmos isso matematicamente é preciso entender que no primeiro dia o raio do círculo de bactérias é normal, só começa a partir do segundo dia a aumentar, então devemos elevar o 1,10 ao número de dias menos 1 ( d-1) pois devemos desconsiderar o primeiro dia, por exemplo, como começou no dia 1, no dia 4 não significa dizer que o raio aumentou 10% 4 vezes, pois no primeiro dia o raio (r) não aumentou, então ele só aumentou 4-1 ou seja 3 vezes.
Com essas considerações em mente agora só basta lembrar da fórmula da área do círculo e aplica-la:
Área do Círculo: A = π.r²
O que a gente sabe? Sabemos que a Quantidade de Bactérias (Q) é igual a 1000 bactérias (10³) vezes a área do círculo de bactérias:
Q = 10³ * ( π.r² )
Porém nós sabemos que o raio é equivalente a ((1,1^d-1)* r )²
Portanto fica assim:
Q = 10³ * ((1,1^d-1)* r )² * π
A alternativa correta é a letra B
IMPOSSÍVEL