Vértices do triângulo: A(4,7) , B(8,4) , C(6,3) .

· A circunferência tem centro no ponto médio de AB e raio igual à altura do triângulo relativa ao lado AB .

· Queremos a área dessa circunferência (ou seja, a área do círculo).

Passo 1: Encontrar o ponto médio de AB (centro da circunferência).

M = \left( \frac{4+8}{2}, \frac{7+4}{2} \right) = \left( \frac{12}{2}, \frac{11}{2} \right) = (6, 5.5)

Passo 2: Calcular o comprimento do lado AB .

AB = \sqrt{(8-4)^2 + (4-7)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5

Passo 3: Encontrar a altura do triângulo relativa ao lado AB . A altura h em relação à base AB pode ser calculada usando a fórmula da área do triângulo.

· Área do triângulo usando determinantes:

\text{Área} = \frac{1}{2} |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|

Substituindo os pontos:

\text{Área} = \frac{1}{2} |4(4 - 3) + 8(3 - 7) + 6(7 - 4)| = \frac{1}{2} |4(1) + 8(-4) + 6(3)| = \frac{1}{2} |4 - 32 + 18| = \frac{1}{2} |-10| = 5

· A área também é dada por \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura} , onde a base é AB = 5 :

5 = \frac{1}{2} \times 5 \times h \implies 5 = \frac{5}{2} h \implies h = 2

Portanto, a altura relativa a AB é h = 2 .

Passo 4: Raio da circunferência é r = h = 2 .

Passo 5: Área do círculo:

\text{Área} = \pi r^2 = \pi (2)^2 = 4\pi

Resposta final: