Tema central: A questão aborda a dilatação temporal, fenômeno previsto pela Teoria da Relatividade Especial de Einstein. Para velocidades próximas à da luz (c), o tempo passa mais devagar para objetos em movimento rápido em relação a um observador em repouso.

Conceitos importantes:

• Dilatação temporal: O relógio em movimento marca menos tempo quando comparado ao que ficou em repouso.
• Fator de Lorentz (γ): \(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\), descreve quanto o tempo próprio "encolhe" para o viajante.
• Fórmula-chave: \(\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0\), sendo \(\Delta t\) o tempo no referencial da Terra e \(\Delta t_0\) o tempo marcado pelo foguete.

Justificativa da alternativa correta (A – 0,86c):

Segundo o enunciado, o relógio B (no foguete) marca metade do tempo do relógio A (na Terra), ou seja:
\(\Delta t_0 = \frac{\Delta t}{2}\).
Usando a fórmula:
\(\Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\)
Substituindo a relação dada:
\(\Delta t = \frac{\frac{\Delta t}{2}}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\)
Multiplicando ambos os lados por \(\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\):
\(\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{1}{2}\)
Elevando ao quadrado:
\(1 - \frac{v^2}{c^2} = \frac{1}{4}\) ⇒ \(\frac{v^2}{c^2} = \frac{3}{4}\) ⇒ \(\frac{v}{c} = \sqrt{\frac{3}{4}} ≈ 0,866\)

A alternativa A) 0,86c coincide perfeitamente com este resultado.

Análise das alternativas incorretas:

B) 0,67c, C) 0,50c, D) 0,76c: Esses valores não resultam em metade do tempo, como o fator de dilatação mostraria. Se usados na fórmula, dão razões diferentes de 2 entre os tempos, não condizendo com o enunciado.
E) 1,50c: Fisicamente impossível: nenhum corpo pode atingir ou ultrapassar a velocidade da luz (c) segundo a Relatividade Especial.

Estratégia de prova e atenção:

Observe que o problema envolve um valor próximo, mas abaixo da velocidade da luz, e tenha cuidado com cálculos de raiz quadrada e aproximações. Alternativas que excedem “c” ou se distanciam muito de 0,86c podem ser eliminadas rapidamente, agilizando o tempo da prova.

Referências clássicas: Resnick, Nussenzveig e o próprio Einstein em suas obras sobre Relatividade explicam detalhadamente a dilatação temporal e o uso do fator de Lorentz, conforme aplicado nesta questão.

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