Na figura a seguir, ABCD é um trapézio com AB=1 e CD=5. Os pontos M e N são pontos médios de AB e BC, respectivamente.





Sabendo que a área de MBN é 1, a área do trapézio é:

Seja p(x) = x + 2024.

A equação p(x) + p(2x) + p(3x) + ... + p(2023x) + p(2024x) = 0

tem uma solução x que satisfaz: 

Joaquim estava brincando com um graveto, quando acertou uma parede e o graveto se partiu em três pedaços, de comprimentos a,b,c, com a ≤ b ≤ c. Ele recolheu os pedaços e tentou construir um triângulo cujos lados seriam exatamente os pedaços do graveto: não foi possível. Sabendo que o graveto tinha 50 cm de comprimento e que b = a + 2, qual é o maior valor possível de a?

Laura é geóloga e está fazendo pesquisa numa caverna cuja entrada tem o formato de uma parábola invertida. Essa entrada, no nível do chão, tem 2m de largura e seu ponto mais alto está a 2,5m do chão, conforme figura a seguir.




Para realizar sua pesquisa, ela precisa entrar na caverna com um equipamento guardado em uma caixa de 1m de largura. Qual é a altura máxima, em metros, que a caixa pode ter para passar pela entrada da caverna? 

Sr. Gauss tem uma pizzaria, chamada π-zzaria, que vende dois tipos de pizzas circulares: uma individual, de diâmetro d; e uma de 20 cm de diâmetro, partida em quatro pedaços iguais.

Considerando que o preço de uma pizza é proporcional à sua área, qual precisa ser o valor de d para que quatro pizzas individuais custem o mesmo que a pizza mencionada, de quatro pedaços?

Para fazer o sorteio de um livro, quatro amigos colocaram três bolas brancas e duas pretas em uma caixa. Decidiram que o primeiro a retirar uma bola preta ficará com o livro. Na ordem alfabética de seus nomes, cada um retira uma bola, ao acaso, sem devolvê-la à caixa.
A probabilidade de o terceiro amigo retirar a primeira bola preta e ficar com o livro é igual a:

Os clientes de um banco podem realizar apenas duas operações financeiras:
• fazer investimentos que rendem juros compostos a uma taxa mensal de 1%; ou • pegar empréstimos com juros compostos a uma taxa mensal de 5%.
O banco usa o dinheiro dos investimentos para conceder os empréstimos, obtendo lucro nessas transações.
Considere que um cliente X investiu R$ 1.000,00 e que o banco emprestou esse valor a um cliente Y. Após 12 meses, o cliente X recebeu o montante pela aplicação nesse período e Y quitou o empréstimo.
Admitindo (1,01)¹² = 1,13 e (1,05)¹² = 1,80, o lucro, em reais, obtido pelo banco com essas duas operações financeiras é igual a:

Observe o plano cartesiano, no qual estão representadas as funções f e g:

O ponto P de interseção entre os gráficos dessas funções possui abscissa w, cujo valor é:

Os azulejos quadrados ABCD, DEFG e FHIJ foram dispostos em um mostruário, conforme ilustrado na imagem. Nesse arranjo, os vértices B, C, E, H e I são colineares.

As medidas das áreas revestidas pelos azulejos ABCD, DEFG e FHIJ, em cm² , são, respectivamente, 93, 157 e X.
O lado, em centímetros, do azulejo de menor área é igual a:

A figura a seguir representa um prisma reto com aresta lateral de 10 m. Sua base é um trapézio com três lados medindo 3 m e o quarto lado medindo 6 m.

O volume do prisma, em m³ , é igual a: 

Considere os seguintes números naturais:
X = 3 x 5² x 2^y W = 120 Z = 48
Sabendo que o máximo divisor comum de X, W e Z é 24, o valor de y é:

A sequência (a_n ) = (0, 0, 5, 5, 0, ...), em que n ∈ IN, é definida por:

A soma dos 100 primeiros elementos da sequência (a_n) é igual a:

Em um experimento, dois relógios idênticos e sincronizados apresentam uma diferença perceptível na medida do tempo. Um dos relógios se encontra em repouso, enquanto o outro está em movimento a uma velocidade escalar v constante, próxima à velocidade escalar c da luz. Segundo a teoria da relatividade de Albert Einstein, entre o intervalo de tempo ∆t₁ , medido pelo relógio em repouso, e o intervalo de tempo ∆t₂ , medido pelo relógio em movimento, observa-se a seguinte relação:

Considere que o deslocamento do relógio ocorre à velocidade v = 12c/13 durante ∆t₂ = 10 segundos. Logo, o tempo ∆t₁ , em segundos, decorrido no relógio em repouso, é igual a:

A folha é um dos órgãos das plantas e por meio dela ocorrem trocas gasosas. Deste modo, conhecer suas características geométricas, como a área, é determinante para compreender seu potencial fotossintético. Para estimar a área de um dos lados de uma folha, aqui considerada como figura plana, um pesquisador fixa uma unidade de comprimento u e coloca a folha embaixo de um papel quadriculado transparente, conforme figura 1.
                                                                                        Figura 1– Montagem inicial da bancada

Sabendo que os quadrados que formam o papel quadriculado têm, cada um, área 1 u², o pesquisador colore e conta 65 quadrados que sobrepõem a folha, obtendo uma estimativa de 65 u² de sua área, conforme figura 2.
                                                                           Figura 2– Primeira contagem

Insatisfeito com a estimativa, o pesquisador refaz o procedimento mais duas vezes, utilizando papéis de mesma largura e comprimento, mas quadriculados com quadrados de lados menores. Na segunda contagem, utiliza lado u e que conta 217 quadrados coloridos, conforme a figura 3. Já para a terceira contagem, utiliza lado   u e conta 800 quadrados coloridos, conforme figura 4.                                                                           Figura 3– Segunda contagem


                                                                        Figura 4– Terceira contagem

Com base no exposto, atribua V (verdadeiro) ou F (falso) às afirmativas a seguir.

(  ) Se o primeiro papel quadriculado é formado por 88 quadrados no total, então o terceiro papel quadriculado é formado por 1408 quadrados no total.

(  ) A área obtida pelo pesquisador na segunda contagem é 50 u².

(  ) As folhas possuem numerosos estômatos, estruturas que permitem a absorção de CO₂, que se fecham quando há restrição hídrica, reduzindo a perda de água por transpiração.

(  )  Admitindo que a área exata da figura plana formada pela folha é de   u²,então a diferença entre a área obtida pelo pesquisador, na terceira contagem, e a área exata é de   u².   

(  )  O CO₂, que é absorvido pela clorofila presente nos tilacoides e armazenado em moléculas de ATP, participa da etapa clara ou fotoquímica da fotossíntese.


Assinale a alternativa que contém, de cima para baixo, a sequência correta.

Leia o texto e a charge a seguir.

Traços da origem antropomórfica dos sistemas de contagem podem ser encontrados em inúmeras línguas. Na República Centro-Africana, por exemplo, “cinco” se diz moro, que também traduz-se como mão.

 Adaptado de: The Universal History of Numbers. (Georges Ifrah, ed. Wiley, 2000, pp. 21-22)

                                                  

                                                                                  Adaptado de: Getty Images

Um matemático observa o encontro retratado na charge e nota que o alienígena escreve sua contagem de modo diferente dos humanos, utilizando apenas 4 símbolos em vez dos 10 algarismos comumente utiliza dos por nós. Com seu conhecimento, o matemático formula um mecanismo que traduz a escrita da contagem alienígena para a do humano. Ele considera A = o conjunto formado pelos símbolos alienígenas e f : A → {0,1,2,3} a função que atribui, a cada símbolo, os valores f  = 0, f  = 1,f  = 2  e f  = 3. A partir daí, o matemático constrói a função g que traduz um número formado por dois símbolos alienígenas em um inteiro, através da função g : A x A →  dada por g (x,y) = 4.f (x) + f (y). Por exemplo, se o alienígena escreve , o matemático traduz em g    = 4 . f  + f   = 4 .1 + 1= 5.

Com base no texto, na charge e no mecanismo construído pelo matemático, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o elemento do domínio da função g cuja imagem é 4.

Leia o texto a seguir.

O que é a técnica do Ponto de Fuga? É o conheci mento de como representar a tridimensionalidade em um plano, por meio de uma referência no horizonte para fazer as linhas e construir a percepção de profundidade.

                                                        

          Adaptado de: vivadecora.com.br

Uma geômetra deseja estudar a obra Supermarket, de Richard Estes, que gera percepção visual de profundidade. Para este fim, utiliza duas retas perpendiculares x e y graduadas, de modo a estabelecer um sistema de coordenadas cartesianas, cuja origem O coincide com o canto inferior esquerdo da obra. Seja P o ponto em que as retas r e s se cruzam, conforme diagrama a seguir.

Admitindo que a reta r tem equação 16y = 3x+80, que a reta s passa pelo ponto Q =   e sabendo que tan  ,assinale a alternativa que apresenta, corretamente, as coordenadas do ponto P.

Leia o texto e analise a imagem a seguir.

Uma resposta para os que creem na “Terra Plana” é o argumento grego, vigente há 2.500 anos, que se baseia na sombra projetada pela Terra na Lua durante um eclipse lunar.

Adaptado de: emais.estadao.com.br

                                                          

Adaptado de: tribunapr.uol.com.br

Uma geômetra analisa a fotografia de um eclipse lunar e faz um esboço idealizado da imagem que observa. Para tanto, e utilizando seus conhecimentos matemáticos, constrói uma circunferência C₁ de centro O e raio r > 0. Em seguida, toma o diâmetro  e um ponto A na circunferência, de modo que o ângulo  é reto. A partir daí, ela constrói uma circunferência C₂ de centro A e raio . Por fim, sombreia uma região do esboço, conforme a figura a seguir.

                                                         

Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a área da região sombreada no esboço pela geômetra.

Imagine um jogo para celular chamado “Onde estão os uns?”. O aplicativo gera, de modo honesto, aleatório e sigiloso, uma matriz A = (a_{i j}) de dimensão 7x7com 46 entradas de valor 0 e apenas 3 entradas de valor 1. O objetivo do jogador é, a partir de dicas fornecidas pelo aplicativo, descobrir quais são as entradas da matriz com valor 1, daí o nome do jogo.

                                                                                     
Logo após o seu início, admita que as seguintes dicas são fornecidas:
I. a_4,4= ≠ 0
II. Se a_i,i = 1, então i = 4
III. a_i,j = a_j,i para todo i,j ∈ {1,2,..., 7}

Considerando todas as possíveis matrizes que poderiam ser geradas pelo aplicativo satisfazendo o enunciado e as dicas, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a probabilidade de a matriz gerada ter entrada a_6,4 = 1

Durante a crise daCovid-19, muitas famílias se encontraram com dificuldade orçamentária. A família de Darci foi uma dessas. Ele está reformando um dos quartos e gostaria de instalar um espelho plano em uma parede perpendicular ao chão com a possibilidade de conseguir observar todo seu corpo ereto (da cabeça aos pés).

Supondo que Darci tem 165 cm de altura e a sua distância horizontal em relação ao espelho é de 40 cm, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a menor altura do espelho plano que deverá ser instalado.

Leia o texto a seguir.

Em abril de 1965 o então presidente da Intel, Gordon Earle Moore, supôs que o conhecimento humano e o progresso tecnológico fariam com que a quantidade de transistores, que podem ser colocados em uma mesma área, dobraria a cada 24 meses.

Adaptado de: canaltech.com.br

Um matemático deseja representar geometricamente a suposição de Moore. Ele percebe que o número de transistores N(t), que podem ser colocados em uma mesma área, cresce muito rapidamente quando comparado com o tempo t, medido em anos.

Sendo assim, o matemático esboça o gráfico de y = log₁₀ N(t) com t ∈ {1969,1971,...,2017}.

Sabendo que N (1969) = 1150 e que N (2017) = 19293798400, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o gráfico de y = log₁₀ N(t) com t ∈ {1969,1971,...,2017}.