Durante um exercício de Matemática, um aluno anotou os termos de uma progressão aritmética (P.A.) de termos inteiros e positivos com n ≥ 3 termos, de primeiro termo a e razão d > 1. No entanto, ele cometeu um pequeno erro: um dos termos foi anotado com 1 unidade a mais do que o valor correto. Mesmo assim, ao somar todos os termos anotados, ele obteve o total de 222.

Sabendo disso, determine o valor de a + d + n 

Um arquiteto paisagista está projetando uma fonte decorativa composta por duas estruturas semicirculares:

• o semicírculo menor, de diâmetro 1, representa a parte superior da fonte;

• o semicírculo maior, de diâmetro 2, representa a base.

A parte sombreada, situada dentro do semicírculo menor e fora do maior, forma uma faixa curva, conhecida em geometria como luna. Qual a área dessa luna? 

Um engenheiro está projetando pequenos painéis triangulares de madeira para compor uma estrutura decorativa. Cada painel deve ter perímetro igual a 7 unidades e lados com comprimentos inteiros. Quantos triângulos não congruentes podem ser formados nessas condições?

Duas retas no plano cartesiano são dadas pelas equações

ax − 2y = c e 2x + by = −c

Sabendo que essas retas são perpendiculares e que se interceptam no ponto (1, −5), determine o valor de c. 

Em uma empresa de tecnologia, os códigos de identificação dos produtos são formados apenas por números inteiros positivos. Para cada produto, define-se uma função S (n), que corresponde à soma dos dígitos do número n.

Por exemplo, S(1507) = 13. Sabe-se que, para determinado produto, o código possui soma dos dígitos iguais a S(n) = 1274. Ao ser gerado o próximo código sequencial, de número n + 1, qual dos seguintes valores poderia ser o valor de S (n + 1)?

Em um congresso com 30 participantes, há 20 pessoas que já se conhecem entre si e 10 pessoas que não conhecem ninguém do grupo. Durante o evento, foi combinado o seguinte protocolo de cumprimento:

• quando duas pessoas já se conhecem, elas se abraçam;

• quando duas pessoas não se conhecem, elas apertam as mãos.

Sabendo disso, determine quantos apertos de mão ocorrem durante o congresso.

Durante uma pesquisa sobre modelos cúbicos aplicados à dinâmica de sistemas, a estudante Clara analisava um polinômio que descrevia o comportamento de uma partícula em equilíbrio. O modelo matemático obtido foi:

x³ − 2022x² + 2022x + 2022 = 0.

As três posições possíveis de equilíbrio da partícula são representadas pelas raízes distintas r, s e t dessa equação. Para estudar a estabilidade do sistema, Clara precisou calcular a seguinte expressão, que representa uma combinação adimensional de respostas do sistema:

1/1−r² + 1/1−s² + 1/1−t².

Qual o valor numérico dessa expressão?

A equação

4^x − 5 ⋅ 2^x+1 + 16 = 0

tem algumas soluções inteiras para x. Qual o valor da soma dessas soluções?