Reservatórios de petróleo são molhados à água ou ao óleo. Isso se dá graças a um filme de água conata que separa o grão do óleo.

De acordo com essa informação e com base nas Figuras acima, verifica-se que a

A falha da Figura acima foi gerada em um campo de tensões em que as magnitudes dos eixos principais de tensão (σ_x , σ_y e σ_z ) são tais que

A realização de um teste requer a aquisição de um seguro de vida para cada pessoa envolvida, no valor de R$ 10.000,00 por pessoa. O valor do prêmio estabelecido pela companhia seguradora é R$ 1.000,00 por apólice. Experiências passadas indicam uma probabilidade de 0,001 de uma pessoa vir a óbito ao longo do teste.

O ganho esperado da companhia para cada apólice vendida, em reais, nessas condições, é igual a

A transformada de Fourier, , da função é igual a

Seja a função , onde b é constante. Qual é a transformada de Fourier de f(t)?

Dado

Seja a função cuja transformada de Fourier é dada por

Seja, também, . A convolução entre f e g é dada por

Sendo assim, H(x) é igual a

Seja a função periódica F(x), de período L = 5, definida sobre todo o eixo dos reais:

para -5/2 < x < 0: F(x) = -2 ;

para x = 0, F(x) = 0;

para 0 < x < 5/2: F(x) = 2 .

O desenvolvimento em série de Fourier para a função acima é

Se δ(x - a) é a notação para a função delta de Dirac, o valor da integral será

A função logaritmo natural, definida nos complexos, é dita plurívoca, pois, para cada complexo z, LN(z) assume diversos valores complexos. Se, por outro lado, restringem-se os valores dos argumentos de z no intervalo de -π a π, tem-se a função ln(z) chamada logaritmo principal do complexo z, com argumento no intervalo restrito.

Se i é a unidade imaginária, qual o valor de ln(i)?

Sejam z e w números complexos em que z² - w² = 7 + i. Se a diferença entre os conjugados de z e w é dada pelo complexo 1 + 2i, o complexo é

Uma fábrica planeja contratar o serviço de atendimento ao cliente de empresas especializadas. Para isso, recebeu proposta de duas prestadoras desse serviço: P e Q. Na proposta apresentada pela empresa prestadora P, o tempo médio de espera para que o cliente seja atendido é de 60 segundos e, na prestadora Q, apenas 50 segundos. O tempo de espera para que um cliente seja atendido segue uma variável aleatória com densidade normal, e o desvio padrão é de 10 segundos, em ambas as empresas prestadoras. Entretanto, o custo de contratação da empresa Q é o dobro do da empresa P.

Sabe-se que a empresa contratante recebe uma multa se o tempo de espera para o cliente ser atendido for superior a 70 segundos.

Para que seja indiferente contratar as empresas P ou Q, a razão entre o custo de contratação e a multa (contratação/multa), deverá ser, aproximadamente, igual a

Seja um vetor cujas componentes são dadas, em função de t, por

O módulo desse vetor, quando está na posição vertical (sobre o eixo das ordenadas) é

Seja o sistema de equação linear:

Quantos são os valores do parâmetro a que levam o sistema a possuir infinitas soluções?

Uma câmara dos sussurros é um espaço em que, se duas pessoas estão nas posições especificadas como foco, elas podem falar entre si, mesmo sussurrando, a uma distância considerável. Isso porque os painéis colocados atrás delas são partes de uma mesma elipse cujos focos são as posições das cabeças das pessoas.

Na câmara de sussurros representada na Figura a seguir, a distância entre as duas pessoas é de 20 m, e a distância de cada pessoa até um vértice da elipse é de 2 m.

A equação da elipse que contém os painéis da câmara representada no sistema de eixos proposto na Figura é

Sejam  =ℝ² → ℝ² o campo vetorial definido por (x,y) =(P (x,y) , Q (x,y)) =  (e^y - 3x²y² + 6x , xe^y - 2x³ y -1) e α : [a,b] → ℝ² uma curva simples diferenciável, tal que α(a) = (0, 1) e α(b) = (1,0).

A integral de linha   vale

Seja f a função definida por

Dentre todos os vetores unitários , qual é aquele para o qual a derivada direcional assume o seu maior valor?

Um sistema cartesiano de coordenadas (xy) foi disposto sobre um grande terreno plano. Nesse terreno, passam os trilhos da rede ferroviária, que foram modelados pela reta cuja equação é dada por 2x + y = 3. O ponto P(1,3) será utilizado como base de realização de uma importante medição, o que exigirá dos engenheiros a determinação de um ponto, sobre os trilhos, que esteja mais próximo do ponto P.

Qual é o ponto da reta 2x + y = 3 que está mais próximo do ponto P (1,3)?