O sinal real de tempo discreto finito x [n] é composto de 1000 amostras coletadas a 44100 amostras por segundo e é indexado de x [0] até x[999]. Ao aplicar a transformada rápida de Fourier (FFT) sobre esse sinal, obtém-se X [k], com k 0 sendo X [0] a componente DC. Com base nessas informações, assinale a opção INCORRETA.

Question

O sinal real de tempo discreto finito x [n] é composto de 1000 amostras coletadas a 44100 amostras por segundo e é indexado de x [0] até x[999]. Ao aplicar a transformada rápida de Fourier (FFT) sobre esse sinal, obtém-se X [k], com k > 0 sendo X [0] a componente DC. Com base nessas informações, assinale a opção INCORRETA.

A

A resolução em frequência de X [k] é de aproximadamente 44 Hz.

B

Se x [n] é composto pelas amostras de um tom em 1000 Hz, X[k] deve apresentar um máximo aproximadamente em X [23], mas haverá muitas amostras no entorno de X[23] que serão não nulas.

C

A transformada X [k] tem simetria em torno de X [500].

D

As 1000 amostras complexas de X [k] são necessárias para recuperar completamente x[n].

E

Espera-se que o sinal

x(t)

que foi amostrado para obter

x[n]

tenha banda base limitada a 22050 Hz.

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Alternativa [D] As 1000 amostras complexas de X [k] são necessárias para recuperar completamente x[n]. Gabarito: DFundamento decisivo: O ponto decisivo é que x[n] é real e N = 1000, o que implica a simetria conjugada da DFT: X[k] = X*[1000-k].Tema central: DFT de sinal realAnálise das alternativasAErradaEstá correta. A resolução em frequência é Δf = fs/N = 44100/1000 = 44,1 Hz, aproximadamente 44 Hz.BErradaEstá correta. Para 1000 Hz, o índice esperado é k ≈ 1000/44,1 ≈ 22,68, isto é, aproximadamente X[23], com espalhamento para bins vizinhos.CErradaEstá correta no contexto da questão. Para x[n] real, os bins k e 1000-k formam pares conjugados, o que corresponde à simetria em torno de k = 500.DCertaA alternativa D é a incorreta. Para sequência real, a DFT apresenta redundância por simetria conjugada, de modo que os coeficientes não são todos independentes. Assim, embora a FFT produza 1000 valores, não é correto afirmar que as 1000 amostras complexas sejam todas necessárias como informação espectral distinta para reconstruir x[n].EErradaEstá correta. Com fs = 44100 Hz, a frequência de Nyquist é 22050 Hz, valor compatível com a banda-base mencionada.Pegadinha da questãoConfundir a quantidade de coeficientes gerados pela FFT com a quantidade de informações independentes necessárias para reconstruir um sinal real.Dica para questões semelhantesSe x[n] é real, use a simetria conjugada X[k] = X*[N-k].Para resolução espectral, aplique Δf = fs/N.Para localizar um tom na DFT, calcule k ≈ f/Δf.Com taxa de amostragem fs, a referência de Nyquist é fs/2.

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O sinal real de tempo discreto finito x [n] é composto de 10...

Gabarito comentado

Gabarito: D

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