Alternativa correta: C - 1250 Hz

1. Tema central da questão

Esta questão aborda o entendimento da relação entre amostragem de sinais, FFT (Transformada Rápida de Fourier) e a conversão de índices da FFT para frequências em Hertz. Tais conhecimentos são essenciais em automação e robótica, pois permitem analisar sinais digitais, detectar falhas e processar informações em tempo real.

2. Resumo teórico

A FFT é um algoritmo eficiente para calcular a Transformada Discreta de Fourier (DFT) de uma sequência finita de amostras, permitindo identificar as componentes de frequência presentes em um sinal.

Os principais conceitos necessários são:

• Frequência de amostragem (f_s): f_s = 1 / T_s = 1 / 0,0001 s = 10.000 Hz.
• Cada saída X(k) da FFT está associada a uma frequência: f_k = (k * f_s) / N, onde N é o tamanho da janela FFT.

Referência: Oppenheim, A. V.; Schafer, R. W. "Discrete-Time Signal Processing".

3. Justificativa da alternativa correta

Substituindo os valores na fórmula:

f_k = (k × f_s) / N = (64 × 10.000) / 512 = 640.000 / 512 = 1.250 Hz

Assim, a amostra X(64) corresponde à frequência de 1.250 Hz, portanto, a alternativa correta é a letra C.

4. Análise das alternativas incorretas

• A - 420 Hz: Valor obtido se houvesse erro no uso da fórmula ou nos parâmetros.
• B - 640 Hz: Pode confundir o aluno ao inverter valores de N e k.
• D - 2240 Hz: Próximo ao dobro da frequência correta, possível erro comum ao confundir índices.
• E - 3200 Hz: É 1/4 da frequência de amostragem, mas não corresponde ao índice k fornecido.

5. Estratégias para interpretação

Preste atenção ao enunciado ao identificar:

• Unidades de tempo (milissegundos → segundos)
• Fórmulas envolvendo FFT (associação entre índice k, f_s e N)
• Possíveis pegadinhas: Troca de variáveis, confusão entre quantidade de amostras e tamanho da janela FFT.

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fk = (K x fs) / N
fk = 64 x 10K / 512
fk = 1250 Hz

obs: fs =1/ Ts