Esta é uma questão de Análise Combinatória que envolve Permutação com Repetição e Restrição. A restrição é que os dois algarismos 6 não podem ficar juntos.

O número em questão é $566.777$. Os algarismos a serem permutados são 6 no total, sendo que alguns se repetem, o que requer o uso da fórmula de Permutação com Repetição.

Algarismos disponíveis (N = 6):

• 5: 1 vez
• 6: 2 vezes ($m_1 = 2$)
• 7: 3 vezes ($m_2 = 3$)

A estratégia para resolver problemas onde elementos não devem ficar juntos é calcular o Número Total de Permutações ($N_{total}$) e subtrair o Número de Permutações em que os elementos estão juntos ($N_{juntos}$).

$$n = N_{total} - N_{juntos}$$

A fórmula da Permutação com Repetição é N! / (m_1! x m_2! x ...).

N_total = 6! / (2! x 3!) N_total = 720 / (2 x 6) N_total = 720 / 12 N_total = 60

Para que os dois algarismos 6 fiquem juntos (66), eles são tratados como um único bloco.

Os novos elementos a permutar são 5 no total: {5, (66), 7, 7, 7}. Temos repetição apenas do algarismo 7 (3 vezes).

N_juntos = P_5 com repetição de 3 = 5! / 3! N_juntos = (5 x 4 x 3 x 2 x 1) / (3 x 2 x 1) N_juntos = 5 x 4 N_juntos = 20

(Não é necessário multiplicar pela permutação interna do bloco (66), pois, como os algarismos são idênticos, permutar 6 com 6 não gera uma nova ordenação distinta).

Subtraímos os casos em que os algarismos 6 estão juntos do total de permutações: $$n = N_{total} - N_{juntos}$$ $$n = 60 - 20$$ $$\mathbf{n = 40}$$

O valor de $n$ é 40, o que corresponde à alternativa C.