Questão escrita de maneira confusa, porque não deixa claro quem é divísivel por 7 e 11, o N ou o NN;

mas vamos lá. NN é um número tal que se N = ABCD então NN = ABCDABCD. Daqui se conclui que N começa com 7 e termina com 2, visto que NN começa com 7 e termina com 2. Calculando alguns valores de multiplicação, aqui considero que N seja divisível de 7 e 11 por consequência por 77, ele está entre 77.90 = 6930 e 77.103= 7931. É um espaço amostral de 13 números, sendo que 2 já descartamos. Como o último algarismo vai aumentando em 7 unidades, é possível prever quando ele será 2:

Partindo de 6930:

91) 0 + 7 = 7

92) 7 + 7 = 14, (unidade 4)

93) 4 +7 = 11 (unidade 1)

94) 1 + 7 = 8

95) 8 + 7 = 15 (unidade 5)

96) 5 + 7 = 12 (unidade 2)

97) 2 + 7 = 9

98) 9 + 7 = 16 (unidade 6)

99) 6 + 7 = 13 (unidade 3)

100) 3 + 7 = 10 (unidade 0)

101) 0 + 7 = 7

102) 7 + 7 = 14 (unidade 4)

O único número que atende a condição da unidade ser 2 é 77.96 = 7392. Dividindo por 9, resta 3.

Agora observando pela perspectiva do NN ser o número divisível por 11 e 7. NN pode ser reescrito como:

NN = ABCDABCD = ABCD0000 + ABCD = 10000ABCD + ABCD = 10001 ABCD = 10001N

Dado que NN = 11K ou NN= 7M; K e M inteiros positivos, tem-se:

10001N = 11K

(909.11 + 2)N = 11K

2N = 11K - 909.11

2N = 11K'

N = 11K'/2

analogamente, N = 7M'/5; com K' e M' inteiros.

Mas note que, se N é um inteiro positivo da forma 7BC2, ele não pode ser um decimal, isto não faria sentido. Logo o K' e o M' devem ser divisíveis por 2 e 5 respectivamente, senão o N seria racional, visto que 7 e 11 são primos e não dividem por 2 e 5. Aquilo permite concluir que esse número N é divisível por 11 e por 7 se NN for divisível por 11 e 7. Assim se chegaria a mesma resposta de antes.

há um erro na questão colocada aqui no site. Pois na prova está escrito n=7xy2 e não n.n=7xy2