N vezes (N + 1) somado a 2N vezes (N + 1) igual a 198. Simplificando a expressão, chegamos a 3 vezes o produto de N pelo seu sucessor igual a 198. Ao dividir 198 por 3, o resultado é 66. Portanto, o produto de N por (N + 1) deve ser exatamente 66.

Ocorre que, no conjunto dos números inteiros, não há dois números consecutivos cujo produto seja 66. Se N for 7, o produto é 56; se N for 8, o produto é 72. O valor de N seria um número irracional (aproximadamente 7,63), o que viola a premissa de que N é um número inteiro positivo. Dessa forma, as alternativas apresentam as seguintes inconsistências:

A alternativa A aponta o algarismo 1 como resposta. No entanto, para que o triplo de N terminasse em 1, o triplo de N teria que ser um valor como 21, o que implicaria N igual a 7. Como já demonstrado, se N for 7, o resultado da equação seria 168 e não 198.

A alternativa B indica o algarismo 2. Para que o triplo de N terminasse em 2, N precisaria ser um valor que, multiplicado por 3, resultasse em final 2 (como N igual a 4 ou 14). Substituindo N por 4 na equação original, o resultado seria 60, valor totalmente divergente do total 198 exigido pelo enunciado.

A alternativa C sugere o algarismo 5. Para o triplo de N terminar em 5, N obrigatoriamente teria que terminar em 5. Se testarmos N igual a 5, o resultado da equação seria 90. Se testarmos o próximo inteiro terminado em 5, que é 15, o valor ultrapassaria drasticamente os 198. Logo, o dado é inexistente para esta alternativa.

A alternativa D menciona o algarismo 8. Isso exigiria que o triplo de N fosse um número como 18 ou 48, implicando N igual a 6 ou 16. Se N for 6, a soma dos produtos resulta em 126. Se N for 16, o valor excede em muito o limite proposto. Não há base matemática para considerar esta alternativa correta.

A alternativa E apresenta o algarismo 9. Isso exigiria que N terminasse em 3. Se testarmos N igual a 3, o resultado da equação seria 36. Se testarmos N igual a 13, o resultado seria 546. Novamente, nota-se que nenhum número inteiro positivo satisfaz a condição, tornando o algarismo 9 uma mera especulação sem base no cálculo proposto.

Diante do exposto, como o valor de N não pertence ao conjunto dos inteiros positivos conforme definido no enunciado da questão, não é possível realizar a operação subsequente (triplo de N e identificação da unidade). A questão está eivada de erro material, não restando alternativa senão a sua anulação. Falta de resposta logicamente possível.

Vamos lá:

Produto = Multiplicação.

(Montando a equação)

N . (N+1) + 2N . (2N + 1) = 198

N² + 1N + 4N² + 2N = 198

5N² + 3N = 198

-----------------

(Bhaskara)

5N² + 3N - 198 = 0

-----------------

(Delta)

3² - 4 . (5) . (-198)

9 + 3960

3969

Raiz² de 3969 = 63

-------------

(Bhaskara de novo)

-3 + 63 / 2 . 5

60 / 10

N = 6 (Vamos utilizar somente a raiz positiva, conforme o enunciado, N é inteiro e positivo)

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6 . 3 = 18

1 = Dezena

8 = UNIDADE

Gabarito D

Não desistam! A dor é passageira, mas a glória é eterna. Quando pensar em desistir, lembre-se do porquê começou.