Para resumir esta questão, fiz deste jeito mano.

• Ponto importante, temos 3 filhos e cada um quer jogar uma número ímpar de vezes. Então só tem 2 jeitos de repartir as 7 fichas entre eles..

1. {5,1,1}
2. {3,3,1}

Ok, depois fazemos permutação nesses dois casos, já que o primeiro filho pode pegar 5, ou o 1 ou o outro 1.

• Agora, com o primeiro caso {5,1,1} vamos ver quantas combinações há.

Vamos fazer o primeiro filho {5,1,1}

• Ele pode usar 7 fichas em 5 posições,(Olho, a ordem de fichas ´´a,b,c,d,e´´ = ´´b,a,c,d,e´´), então tem que tirar a ambiguidade com a fórmula

7! = 21

5!.2!

• Com o segundo filho, como já foram usadas 5 fichas, sobram 2 para 1 posição.{5,1,1}

2! = 2

1!.1!

(Ponto importante, não precisa fazer o último filho, porque só sobrou uma ficha para ele)

• Último passo, multiplica os resultados 2.21 = 42 combinações e multiplica

pelas permutações dos 3 filhos =

3! = 3.

2! --> pq tem duas repetições {5,1,1}

Então seria 42.3= 126

Acabamos o primer caso!

• Agora, com o segundo caso {3,3,1} vamos ver quantas combinações há.

Vamos fazer o primeiro filho {3,3,1}

• Ele pode usar 7 fichas em 3 posições,(Olho, a ordem de fichas ´´a,b,c,´´ = ´´b,a,c,´´), então tem que tirar a ambiguidade com a fórmula

7! = 35

3!.4!

• Com o segundo filho, como já foram usadas 3 fichas, sobram 4 para 3 posições.{3,3,1}

4! = 4

3!.1!

(Ponto importante, não precisa fazer o último filho, porque só sobrou uma ficha para ele de novo ksksks)

• Último passo, multiplica os resultados 4.35 = 140 combinações e multiplica

pelas permutações dos 3 filhos =

3! = 3.

2! --> pq tem duas repetições {3,3,1}

Então seria 140.3 = 420

Acabou, é só somar as combinações 126+420= 546 Alternativa A!

Somando três ímpares positivos para dar 7, só existem dois perfis possíveis de contagens:

• (5,1,1)
• (3,3,1)

Agora, para cada perfil, contamos as sequências (permutação multinomial) e multiplicamos pelas formas de atribuir as contagens aos três filhos.

1. (5,1,1)

• Sequências para uma atribuição fixa: 7! / 5! 1! 1! = 42
• Quem fica com 5? 3 escolhas.
• Total: 3×42 = 126
• 3×42=126

1. (3,3,1)

• Sequências para uma atribuição fixa: 7! / 3! 3! 1! = 140
• Quem fica com 1? 3 escolhas.
• Total: 3×140= 420

Total geral: 126+420= 546