Com relação à álgebra linear, julgue o item a seguir. Se A é...
Se A é uma matriz quadrada nilpotente de índice n, então pode-se afirmar que a matriz I - A é inversível com inversa (I - A)-1 = I + A + A2 + ... + An-1.
Sim, a afirmação é verdadeira. Se A é uma matriz quadrada nilpotente de índice \( n \), isso significa que existe um número inteiro positivo \( k \) tal que \( A^k = 0 \) (a matriz nula) e \( A^{k-1} \neq 0 \). Além disso, \( A^0 \) é definido como a matriz identidade \( I \).
A série \( I + A + A^2 + \ldots + A^{k-1} \) é uma soma finita, pois a partir do termo \( A^k \), todos os termos subsequentes são nulos.
Agora, considerando a matriz \( B = I - A \), podemos calcular sua inversa usando a série dada:
\[
\begin{align*}
B^{-1} &= (I - A)^{-1} \\
&= I + A + A^2 + \ldots + A^{k-1}.
\end{align*}
\]
Isso significa que \( (I - A)^{-1} \) é igual à soma finita \( I + A + A^2 + \ldots + A^{k-1} \). Portanto, a afirmação é correta para matrizes nilpotentes de índice \( n \).
(I-A)^-1= I
pois
I^-1=I
e os termos A são nulos.