Sim, a afirmação é verdadeira. Se A é uma matriz quadrada nilpotente de índice \( n \), isso significa que existe um número inteiro positivo \( k \) tal que \( A^k = 0 \) (a matriz nula) e \( A^{k-1} \neq 0 \). Além disso, \( A^0 \) é definido como a matriz identidade \( I \).

A série \( I + A + A^2 + \ldots + A^{k-1} \) é uma soma finita, pois a partir do termo \( A^k \), todos os termos subsequentes são nulos.

Agora, considerando a matriz \( B = I - A \), podemos calcular sua inversa usando a série dada:

\[

\begin{align*}

B^{-1} &= (I - A)^{-1} \\

&= I + A + A^2 + \ldots + A^{k-1}.

\end{align*}

\]

Isso significa que \( (I - A)^{-1} \) é igual à soma finita \( I + A + A^2 + \ldots + A^{k-1} \). Portanto, a afirmação é correta para matrizes nilpotentes de índice \( n \).

(I-A)^-1 =I+A+A^2 .. A^n

multiplicando para obter a identidde na esquerda..

(I-A)^-1*(I-A) =(I+A+A^2 .. A^n)(I-A)

I=(I+A+A^2 .. A^n)(I-A)

vamos expandir na direita

I=(I+A+A^2...A^n)- (A+A^2 +...A^n)

I=I

Como em ambos os lados temos a identidade, logo as duas são equivalentes, logo:

(I-A)^-1 =I+A+A^2 .. A^n