Considere a seguinte sequência de figuras, formadas por triâ...

Este é um problema de Progressão Aritmética.Observe a sequência de números: 1, 4,10, 19, 31 (a figura do problema é só pra nos distrair :) A partir do segundo elemento desta sequência (elemento 2 = 4, elemento 3 = 10, elemento 4 = 19, elemento 5 = 31,…) podemos dizer que cada número é formado pela seguinte fórmula:Elemento 1 = 1Elemento 2 = (N-1) * 3 + Elemento 1 Neste caso N = 2 porque estamos falando do Elemento 2, então temos:Elemento 2 = (2-1) *3 + 1 = 1*3 + 1 = 4 Elemento 3 = (N-1)*3 + (N-2)*3 + Elemento 1Neste caso N = 3, então temosElemento 3 = (N-1)*3 + (N-2)*3 + Elemento 1 = 2*3 + 1*3 + 1 = 6 + 3 + 1 = 10 Elemento 4 = (N-1)*3 + (N-2)*3 + (N-3)*3 + Elemento 1 = 9 + 6 + 3 + 1 = 19Observe que, tirando-se o Elemento 1, temos uma progressão aritmética (PA) (…3,6,9,12,15,…) Logo, podemos denotar o Elemento 20 da seguinte forma: Elemento 20 = (N-1)*3 + (N-2)* 3 + … + (N-19)*3 + Elemento 1Elemento 20 = (20-1)*3 + (20-2)*3 +… + (20-19)*3 + Elemento 1Elemento 20 = 19*3 + 18*3 + …. + 1*3 + Elemento 1Elemento 20 = 57 + 54 + 51 +…. + 3 + Elemento 1Ora, como vimos acima, tirando-se o Elemento 1, temos uma PA cuja razão é 3 O resultado final será então a soma dos termos testa PA,que tem 19 termos, mais o Elemento 1A soma dos termos da PA de 19 termos é: ( N* (An + A1)) / 2. Do raciocínio acima para uma PA de 19 elementos: N = 19An = 57 A1 = 3Logo, a soma dos termos da PA de 19 termos será igual a: (19*(57+3))/2 = 570 Lembre se da fórmula do Elemento 20: Elemento 20 = 57 + 54 + 51 +…. + 3 + Elemento 1Elemento 20 = PA de 19 termos + Elemento 1 Elemento 20 = 570 + 1 Elemento 20 = 571 A cada termo da sequencia 1 4 10 19 31 ... é o sucessor da soma da progressão aritmética3 6 9 15 ... (que pode ser obtida pela diferença entre os termos).O enésimo termo da P.A. é 3 x (n - 1). Logo o vigésimo é 3 x 19 = 57.O termo médio é (3 + 57)/2 = 60/2 = 30.São 19 termos, logo a soma é 19 * 30 = 570.Somando 1 dá 571.Resposta a) P.A temos An = A1 + (n-1)ra sequencia 1,4,10,19,31....., temos:A1=1A2=4A3=10A4=19A5=31onde a razão (r) é 3n/2assim, temos:An = A1 + (n-1).3n/2então:A20 = A1 + (20-1) . 3*20/2A20 = 1 + 19*30A20 = 1+ 570 = 571Conclusão,... como a minha razão (que eu achei) virou uma variável, eu não sei exatamente o que eu fiz!! Bom como ainda não conheço as formas abaixo de resolução, resolvi de uma forma um pouco mais demorada. Porém caso alguém tenha interesse:Os números de triângulos pequenos 1, 4, 10, 19, 31 vão aumentando de acordo com a tabuada do 3.Ex: de 1 para 4 tem 3 de 4 para 10 tem 6 de 10 para 19 tem 9 de 19 para 31 tem 12 de 31 para o próximo nº terá 18 ... e assim sucessivamente até checar na 20ª coluna que terá 571 triângulos, resposta "a".

Percebi que vão se somando triangulos POR FORA.

Primeiro temos 0 triangulos por fora, depois 3 triangulos por fora, depois 6, ...9, ...12,....

Ou seja, é uma P.A de razão 3, onde A₁ = 0.

Logo, A₂₀ = A₁ + (20-1)R ...A₂₀ = 0 + 19.3 ....A₂₀ = 57

Assim, S₂₀ = n . (A₁ + A₂₀)/2

S₂₀ = 20 . ( 0 + 57 )/2

S₂₀ = 570 triangulos.

Mas temos que lembrar que pra totalizarmos, precisamos contar o primeiro tringulo (sem nada por fora).

Portanto, 570 + 1 = 571

571

progressao aritmetica. iniciando da figura 2, que tem 3 triangulos:

an = a1+(m-1)*r

a19 = 3 + (18)*3

a19=57

soma dos termos pa:

s= (n* (a1+an))/2

s= ((19 *(51)/2

s= 570

Porque iniciamos da figura 2, temos 570 triangulos. considerando a fuigura 1, temos 570 + 1 == 571

 

a alternativa A é a única que dividida por 3 tem resto 1, assim como o número de triângulos de todas as fases