Carlos e André têm sequências aritméticas, e precisamos encontrar os números que aparecem em ambas as sequências.

A sequência de Carlos é (5, 8, 11, ...), onde cada termo aumenta em 3. A fórmula para o n-ésimo termo (a_n) é:

an=5+(n−1)×3a_n = 5 + (n-1) \times 3

A sequência de André é (3, 7, 11, ...), onde cada termo aumenta em 4. A fórmula para o n-ésimo termo (b_n) é:

bn=3+(n−1)×4b_n = 3 + (n-1) \times 4

Vamos encontrar os números comuns a ambas as sequências. Esses números são da forma:

5+3k=3+4m5 + 3k = 3 + 4m

Para alguns inteiros k e m. Simplificando, temos:

5+3k=3+4m⇒3k−4m=−25 + 3k = 3 + 4m \Rightarrow 3k - 4m = -2

Queremos encontrar valores inteiros de k e m que satisfaçam essa equação dentro dos primeiros 100 termos de cada sequência.

Vamos resolver a equação diofantina linear 3k−4m=−23k - 4m = -2:

k=4m−23k = \frac{4m - 2}{3}

Para k ser inteiro, 4m−24m - 2 deve ser múltiplo de 3, ou seja:

4m−2≡0(mod3)4m - 2 \equiv 0 \pmod{3}

4m≡2(mod3)4m \equiv 2 \pmod{3}

O número que torna essa congruência verdadeira é m=2m = 2, já que 4⋅2=8≡2(mod3)4 \cdot 2 = 8 \equiv 2 \pmod{3}.

Usando a fórmula geral, m=2+3nm = 2 + 3n para algum inteiro n, substituindo de volta:

k=4(2+3n)−23=8+12n−23=6+12n3=2+4nk = \frac{4(2 + 3n) - 2}{3} = \frac{8 + 12n - 2}{3} = \frac{6 + 12n}{3} = 2 + 4n

Para que ambos k e m estejam dentro dos primeiros 100 termos, eles precisam estar no intervalo de 1 a 100:

1≤2+4n≤100⇒−1≤4n≤98⇒0≤n≤24.51 \leq 2 + 4n \leq 100 \Rightarrow -1 \leq 4n \leq 98 \Rightarrow 0 \leq n \leq 24.5

1≤2+3n≤100⇒−1≤3n≤98⇒0≤n≤32.671 \leq 2 + 3n \leq 100 \Rightarrow -1 \leq 3n \leq 98 \Rightarrow 0 \leq n \leq 32.67

Portanto, o valor máximo de n que satisfaz ambos é 24, então os valores de n são de 0 a 24, totalizando 25 termos.

Assim, Carlos e André escreveram 25 números iguais

Primeiro, vamos ver qual é o último número que cada um escreveu

• Carlos: PA de razão (r) = 3. Começa em 5. a100 = a1 + 99 x r
• a100 = 5 + 99 x 3
• a100 = 5 + 297 = 302
• André: PA de razão (r) = 4. Começa em 3. b100 = b1 + 99 x r
• b100 = 3 + 99 x 4
• b100 = 3 + 396 = 399

Como Carlos parou no 302 e André foi até o 399, os números iguais só podem ir até o 302

Agora, vamos montar a sequência dos números que aparecem nos dois grupos:

• O primeiro número igual que aparece nas duas listas é o 11.
• A razão dessa nova sequência será o MMC das razões originais (3 e 4). MMC(3, 4) = 12.

Então, os números iguais formam uma nova PA onde o primeiro termo (c1) é 11 e a razão (R) é 12.

Queremos saber quantos termos essa nova PA tem sem ultrapassar o limite de 302:

cn = c1 + (n - 1) x R

11 + (n - 1) x 12 < 302

(n - 1) x 12 < 302 - 11

(n - 1) x 12 < 291

n - 1 < 291 / 12

n - 1 < 24,25

n < 25,25

Como a quantidade de termos (n) precisa ser um número inteiro, temos 25 números iguais