Assinalar a alternativa que apresenta os resultados possívei...
Assinalar a alternativa que apresenta os resultados possíveis para a equação logarítmica abaixo:
Vamos lá galera,
Questão tranquila para quem conhece o básico do logaritmo que é entender que este é um operador, o qual nos remete as equações exponenciais.
Veja:
Log a b = x ---- a ^ x = b ---- [ Na prática, temos que entender que a elevado a x é igual a b. ]
Ex: Log 2 8 = 3 --- 2 ^ 3 = 8 [ 2 elevado a 3 é 8 ]
Nesta questão, basta substituir os valores de x na expressão e, o único valor que tornar a expressão VERADEIRA, será a resposta. Cabe ressaltar que os dois valores referentes a x devem estar corretos. Caso um dê errado, a assertiva estará errada. Observe as opções:
a) x = - 5 e x = 2.
Log (10- x ) ( x2 + 2x) = 1
x = - 5 ------ [10 – ( -5)] ^ 1* = [- 52 + 2 . (- 5) ] ----- 10 + 5 = 25 - 10 --- V
x = 2 ------ [10 – 2)] ^ 1* = [ 22 + 2 . 2 ] ----- 10 - 2 = 4 + 4 --- V
* OBS: Lembro que qualquer número elevado ao expoente um, terá como resultado ele mesmo.
GABARITO: LETRA A
b) x = -3 e x = 2.
Log (10- x )( x2 + 2x) = 1
x = - 3 ------ [10 – ( -3)]1 = [- 32 + 2 . (- 3) ] ----- 10 + 3 = 9 - 6 --- F
* Uma opção falsa, já torna a assertiva errada.
c) x = -5 e x = 1.
Log (10- x )( x2 + 2x) = 1
x = 1 ------ [10 – 1)]1 = [ 12 + 2 . 1 ] ----- 10 - 1 = 1 + 2 --- F
* Uma opção falsa, já torna a assertiva errada.
d) x = -3 e x = 1.
Log (10- x )( x2 + 2x) = 1
x = - 3 ------ [10 – ( -3)]1 = [- 32 + 2 . (- 3) ] ----- 10 + 3 = 9 - 6 --- F
* Uma opção falsa, já torna a assertiva errada
Outro modo de olhar para essa questão:
Note que 1 = log[a]a, sendo [a] = base, (a) = logaritmando. Ou seja, o log de algum valor cuja base seja esse mesmo valor, é 1.
Assim, enxergue o 1 da equação como log[10-x](10-x). Ficamos com:
log[10-x](x^2 + 2x) = log[10-x](10-x)
Por definição de Logaritmos, log[b](a) = log[b](c) se, e somente se, a = c. Daí,
x^2 + 2x = 10 - x
Basta, então, encontrar as raízes da equação x^2 + 3x - 10 = 0, que são -5 e 2.
Portanto, alternativa A.
Outra maneira: Trocando as bases da equacao para a base 10:
log[x^2+2x]/log[10-x] = 1 (divisão de logaritmos = diferenca)
log[x^2+2x-10+x] = 1, logo: 10^[x^2+2x-10+x] = 1 (qualquer numero elevado a 0 eh 1):
Logo: x^2+2x-10+x = 0, cuja raizes sao -5 e 2. Alternativa A.
O enunciado informa que o Log de x²+2x na base 10-x é igual a 1. Pelos conceitos básicos de Log, quando o resultado é 1? Quando a base e o logaritimando são iguais. Logo:Eu ainda não entendi... pode me explicar novamente...
talvez estou fazendo uma pergunta idiota, mas estou começando e nao entendi o pq que o sinal (-) do 5 elevado a 2 , mudou para (+25) ??? alguem me explica ... por causa desse sinal que meu resultado estava dando errado...
Quando o resultado é 1, a base e o logaritimando são iguais. Logo:
x² + 2x = 10 - x
x² + 2x - 10 + x =0
x² + 3x - 10 = 0 (equação de 2º grau)
ou x² - (-3x) + (-10) = 0 (Relação de Albert Girard -> x2 - Sx + P = 0, onde S representa a soma das raízes da equação e P representa o produto destas raízes. )
Quais são os dois números que somados totalizam -3 e que multiplicados resultam em -10?
São eles: -5 e 2 (raízes da equação) - ALTERNATIVA A
-5 +2 = -3
-5 * 2 = -10
Resolução:
(10-x)^1 = x^2+2x
10-x=x^2+2x
x^2+2x+x-10=0
x^2+3x-10=0
para achar as raízes, usa a fórmula de bhaskara:
delta = b^2-4ac
delta = 3^2-4.1.(-10)
delta = 49
x = -b +- raiz(delta) / 2a
x'=-5 x"=2
10-x=x^2+2x
x^2+3x-10
b^2-4ac
3^2-4.1.(-10)
9+40
49
-b+ou - raíz de delta/2a
-3+ou-7/2
x= -3-7/2 = -10/2 = -5
x=-3+7/2 = 4/2 = 2
10 - x = x² + 2x
x² + 3x - 10 = 0
Resolvendo a equação do 2º grau, tem-se que as raízes reais são - 5 e + 2.
Resposta A)