Uma amostra aleatória simples de tamanho n = 4, denotad...

0+0+0+1 = 1

n = 4

média amostral:

1/4 = 0,25

Amostra:

Temos uma amostra de tamanho n = 4 com os seguintes valores observados: 0, 0, 0, 1.

Função de Verossimilhança:

A função de verossimilhança (L) é o produto das probabilidades de cada observação na amostra:

L(π) = P(X₁=0) * P(X₂=0) * P(X₃=0) * P(X₄=1) L(π) = (π⁰(1 - π)¹) * (π⁰(1 - π)¹) * (π⁰(1 - π)¹) * (π¹(1 - π)⁰) L(π) = (1 - π) * (1 - π) * (1 - π) * π L(π) = π(1 - π)³

Log-Verossimilhança:

Para simplificar a maximização, tomamos o logaritmo natural da função de verossimilhança (log-verossimilhança):

ln(L(π)) = ln(π) + 3ln(1 - π)

Derivada da Log-Verossimilhança:

Derivamos a log-verossimilhança em relação a π e igualamos a zero para encontrar o ponto de máximo:

d(ln(L(π)))/dπ = 1/π - 3/(1 - π) = 0

Resolvendo para π:

1/π = 3/(1 - π) 1 - π = 3π 1 = 4π π = 1/4 = 0,25

Conclusão:

A estimativa de máxima verossimilhança para π é 0,25, e não 0,75. Portanto, a afirmação "A estimativa de máxima verossimilhança da probabilidade π é igual a 0,75" é incorreta.Informações adicionais: Interpretação da EMV: A EMV de π representa a probabilidade que torna a amostra observada mais provável. No nosso caso, a amostra tem três valores 0 e um valor 1. Intuitivamente, isso sugere que a probabilidade de observar 1 (sucesso) deve ser menor do que a probabilidade de observar 0 (fracasso), o que é consistente com a EMV de 0,25. Relação com a média amostral: Em uma distribuição de Bernoulli, o valor esperado é igual a π. A média amostral é calculada como o número de sucessos dividido pelo número total de tentativas. Na nossa amostra, temos 1 sucesso em 4 tentativas, então a média amostral é 1/4 = 0,25. Em distribuições de Bernoulli, a EMV de π é igual à média amostral. Teste de hipóteses: A questão menciona um teste de hipóteses H₀: π = 0,5 contra H₁: π ≠ 0,5. A EMV calculada (0,25) seria usada para calcular a estatística do teste (por exemplo, um teste da razão de verossimilhanças ou um teste de Wald) para determinar se há evidências estatísticas para rejeitar a hipótese nula. Em resumo: A estimativa de máxima verossimilhança para π, com base na amostra observada, é 0,25. A afirmação de que é 0,75 é incorreta. A EMV coincide com a média amostral neste caso.