Seja a progressão geométrica definida pela sucessão de termo...

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Q2425127
Matemática Progressões , Progressão Geométrica - PG ,
Ano: 2020 Banca: IDIB Órgão: CRM-MT Prova: IDIB - 2020 - CRM-MT - Médico Fiscal |
Q2425127 Matemática

Seja a progressão geométrica definida pela sucessão de termos infinitos do somatório ∑i=0∞​5i4​. Assinale a alternativa que indica corretamente o valor para o qual essa série converge.

Alternativas

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Gabarito: C

Fundamento decisivo: O critério técnico decisivo é o de convergência de série geométrica infinita: ela só converge se |q| < 1. No enunciado transcrito, o somatório de i = 0 até ∞ tem termo geral 5^i/4, o que define razão q = 5; portanto a série diverge e não tem soma finita. Assim, o gabarito oficial C só se sustenta por incompatibilidade entre a transcrição e a resposta oficial, com provável erro de notação na expressão.

Tema central: Série geométrica infinita
Análise das alternativas
A
Errada
O valor 1 é incompatível com a expressão transcrita, porque uma série geométrica infinita com razão q = 5 não converge para número real finito. O erro aqui seria aplicar ideia de soma infinita sem verificar antes o critério obrigatório |q| < 1.
B
Errada
O valor 3 também exige convergência finita da série, o que não ocorre quando o termo geral é 5^i/4. O fator 1/4 apenas multiplica a série, mas não altera o fato decisivo: a razão permanece 5 e a divergência se mantém.
C
Certa
A alternativa C deve ser assinalada por aderência ao gabarito oficial. Tecnicamente, porém, a forma literal transcrita não sustenta soma igual a 5, porque a série com razão 5 diverge. Pela base fornecida, o único modo de C ser compatível com a matemática do problema é admitir erro de transcrição ou formatação da expressão, como em uma série equivalente a Σ(4/5^i), cuja soma seria 5.
D
Errada
O valor 7 não decorre da série como transcrita pelo mesmo motivo estrutural: não existe soma finita quando a razão geométrica tem módulo maior que 1. Portanto, 7 é excluído pelo critério de não convergência.
Pegadinha da questão
A confusão real está em aplicar automaticamente a fórmula da soma infinita sem checar se |q| < 1 e em aceitar a notação transcrita sem perceber a possível falha de renderização que entra em conflito com o gabarito oficial.
Dica para questões semelhantes
  • Antes de usar a fórmula da soma infinita, identifique a razão geométrica e confirme se |q| < 1.
  • Se o termo geral cresce com i, a série infinita não converge para valor finito.
  • Quando o gabarito oficial conflitar com a conta literal, revise a notação da potência e da fração para detectar erro de transcrição.

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Comentários

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pg infinita formula: Sn=a1/(1-q)

somatorio de zero a infinito, tendo 4/5 como razão.

pg=(1,...,infinito) ,q=4/5

obs: na questão diz que é de zero a infinito, mas o A1 não pode iniciar com zero, pois o resultado seria zero. o sucessor do zero deduzi que seria o numero 1.

sn= 1/(1-4/5) = 1.5 = 5.

resposta: letra C

A formula para o somatorio da pg infinita é: S=a1/(1-q)

O somatório da questão e: ∑i=0∞​ (4/5^i),

logo a pg será : ((4/5^0),(4/5^1),(4/5^2),(4/5^3)...)

dando como resultado ( 4, 4/5 ,4/25 ,4/125... )

O primeiro termo é o (a1) = 4, e o (q) é a razão do segundo termo dividido pelo primeiro

( 4/5 ) / (4) = 1/5.

Aplicando na forma :

a1 = 4

q = 1/5

S=a1/(1-q)

S = (4) / (1-1/5) = 5

Resposta: letra C

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