Dizemos que F é uma primitiva (ou antiderivada) se:

F'(x) = f(x)

Logo, F(x) = , porque a F'(x) = e^u * u' =

Resposta que pedi para o Gemini me explicar:

A questão pede para encontrar a primitiva da função (2x+2)ex2+2x+1. Para resolver essa integral, vamos utilizar o método da substituição (ou "troca de variável"), que é a técnica mais comum para integrais que se parecem com a regra da cadeia da derivada.

A integral que precisamos resolver é:

∫(2x+2)ex2+2x+1dx

Passo 1: Identificar a substituição

O método da substituição funciona bem quando a integral contém uma função e a derivada de uma parte dessa função.

Vamos observar a função exponencial ex2+2x+1. O seu expoente é u=x2+2x+1. Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x:

dxdu​=dxd​(x2+2x+1)=2x+2

Portanto, du=(2x+2)dx.

Perceba que o termo (2x+2)dx na integral original é exatamente igual ao du que acabamos de encontrar! Essa é a "pista" de que o método da substituição é o ideal.

Passo 2: Substituir os termos na integral

Agora, vamos reescrever a integral inteiramente em termos da nova variável u.

• Substituímos o expoente x2+2x+1 por u.
• Substituímos o termo (2x+2)dx por du.

A integral original se transforma em uma integral muito mais simples:

∫ex2+2x+1⋅(2x+2)dx=∫eudu

Passo 3: Resolver a integral simples

A integral de eu é uma das integrais mais diretas de se resolver.

∫eudu=eu+C

onde C é a constante de integração.

Passo 4: Voltar para a variável original

Agora, a última etapa é substituir u de volta pela expressão original x2+2x+1.

eu+C=ex2+2x+1+C

Portanto, a primitiva da função dada é ex2+2x+1+C.

Para confirmar: Se você derivar a resposta, deve voltar à função original.

dxd​(ex2+2x+1+C)=ex2+2x+1⋅dxd​(x2+2x+1)+0

=ex2+2x+1⋅(2x+2)

=(2x+2)ex2+2x+1

A derivada é igual à função original, o que confirma que nossa primitiva está correta.

A resposta que você deve procurar nas alternativas é ex2+2x+1. Geralmente, a constante C não aparece nas alternativas de múltipla escolha.

Gabarito: B