A soma dos 15 primeiros termos de uma progressão aritmética ...
Pra revolver uma dessa está complicado...
GABARITO: LETRA A - 159
Lembre-se que a média aritmética entre 2 termos quaisquer da PA é igual ao termo médio entre eles. Aqui, as expressões pras somas de termos
S15=(a1+a15)*15/2=405
S25=(a1+a15)*25/2=2050
Das expressões acima, concluímos que
(a1+a15)/2=405/15=27
(a1+a25)/2=2050/25=82
Aqui entra aquela propriedade da média aritmética entre os 2 termos. Note que
(a1+a15)/2=a8=27
(a1+a25)/2=a13=82
Com 2 termos, calculamos a razão da PA
a13=a8+(13-8)*r => 5*r=a13-a8=82-27=55 => r=55/5=11
Assim,
a20=a13+(20-13)*r => a20=82+7*11=82+77=159
a15 = 405 a25=2.050
405/15= 27 2050/25 = 82
15 / 2 = 8 25/2 = 13
a8=27 a13 = 82
sendo assim: se o a8 é 27 se for somado + 11 até o a13 dará 82, dessa forma sabemos que a razão é 11, ai fica fácil é pegar 82 + 77(11x7) = 159
espero que tenham entendido...
Deus me livre....
Acompanhei o raciocínio do Guilherme Luz até a hora que ele resolve substituir o a13 e o a8 na fórmula...
a13=a8+(13-8)*r
como da pra fazer isso se a fórmula num tem a8?
an = a1 + (n - 1) r
Primeiro joga na fórmula soma de PA: Sn= (a1+an).n/2
S15=(a1+a15)*15/2=405
(a1+a15)/2=405/15=27
(a1+a15)/2=a8=27
S25=(a1+a15)*25/2=2050
(a1+a25)/2=2050/25=82
(a1+a25)/2=a13=82
Agora montamos um sistema a fim de achar o r:
a1+7r=27(-1)
a1+12r=82
-a1-7r=-27
a1+12r=82
5r=55
r=11
Agora encontramos o a1
a1+12.11=82
a1+132=82
a1=-50
Agora encontramos o a20:
an=a1+(n-1).r
a20=-50+(20-1).11
a20=-50+209
a20=159
obrigado por mandar a resolução Guilherme Luz
Primeiro vamos usar a formula da soma de P.A
Para A1 + A15= 405 Para A1 + A25= 2025
Sn = (A1 + An)n / 2 Sn = (A1 + An)n / 2
405 = (A1 + A15) 15 / 2 2025 = (A1 + A25) 25 / 2
405 X 2 = (A1 + A15) 15 164 = A1 + A25
405 X 2 / 15 = (A1 + A15) Logo: A25= - A1 + 164
A1 + A15= 54 logo: A15= 54 - A1 Agora usa a formula do termo geral da P.A
Agora usa a formula do termo geral da P.A An = A1 + ( n-1) . r
An = A1 + ( n-1) . r -A1 + 164 = A1 + 24r
- A1+54 = A1+ (15-1) . r Logo: 164= 2 A1+ 24r
54 = A1 + A1 +14r logo: 54 = 2 A1 +14r
____________________________________________________________________________________
Aplica-se um sistema para encontrar a razao
2 A1 + 14r = 54 (-1)
2 A1 + 24r = 164
10r = 110
r= 11
Subistituindo - 2 A1 + 14r = 54
2A1 = 54 - 14 X 11
A1 = -50
Agora é só calcular o 20º termo
An = A1 + ( n-1) . r
A20 = -50 + 19 . 11
A20 = 159 ENFIM...........
Simplificando:
Primeiro Descubro as posições dos Números mais faceis de descobrir,que e:
15 primeiros termos-> a15=405 então 405/15 = 27 e 15/2= 8 então a posição 8 = 27
25 primeiros termos-> a25=2.050 então 2.050/25 = 82 e 25/2= 13 então a posição 13 = 82
a8 = 27
a13= 82 da posição 8 ate a 13 temos uma diferença de 5,e 82-27 = 55, que numero multiplicado por 5 da 55,"11"
Sendo assim aplica a formula
A20=a13 + 7.r
A20=82+7*11
A20=82+77
A20="159"
Bom, temos 2 intervalos de termos dados pelo enunciado.
n=15
n=25
Sabemos que o termo médio de uma PA com número ìmpar de termos é o valor imediatamente superior à metade do total de seus termos, ou seja:
15/2 = 7,5 - então seu termo médio será o 8º termo
25/2 = 12,5 - então seu termo médio será o 13º termo
E que questão nos deu a soma dos 15 primeiros termos = 405, e que o valor médio desse intervalo de 15 termos será dado pela divisão de sua soma pelo seu número de termos = 405/15 = 27
que o valor médio da PA, que possui 25 termos no total, será o valor total da soma dos seus termos dividida pelo total de seus termos = 2050/25 = 82
temos, então: que o termo médio dos 15 primeiros números terá exatamente o valor médio desse intervalo, ou seja, 8º termo = 27 e o termo médio da PA terá exatamente o valor médio dessa PA, ou seja, 13º = 82
Agora temos 2 valores já sabidos. Já podemos achar o 1º termo, certo? Não!!!! Agora temos que achar a razão da PA, pois na equação do termo geral precisaremos dela para acharmos o A1, já que An = A1 + (1 - n ) R.
Bom, sabemos que um termo consequente é a soma da razão ao seu antecedente, então A2 = A1 + R, pois bem, para acharmos R, nesse exemplo, devemos saber que o 13º termo será o 8º termo mais 5x a razão. Por que 5 x? Porque entre 8 e 13 há 5 termos e já que R é uma constante esse intervalo será multiplicado pelo valor da razão, ou seja: A13 = A8 + 5R
Sendo A13 = 82 e A8 = 27, temos 82 = 27 + 5R ..... R = 82-27/5 = 11
Também dá para achar sem fómula. Se 13 - 8 = 5 termos de diferença e 82 - 27 = 55 que é o valor de diferença, dividindo 55/5 = 11.
Agora podemos achar o valor de A1......
An = A1 + (n - 1) .R......
A13 = A1 + (13-1). 11.......
82 = A1 + 12.11......
A1 = 132 - 82 = 50
Sendo A1 = 50, R = 11 e n = 25, podemos achar A20 .....
.A20 = A1 + (n-1).R........
A20 = 50 + (20-1) . 11........
A20 = 50 + 19.11 .......
A20 = 50 + 109 = 159
Resposta: letra A
Vamos indicar para comentário, está muito difícil de entender assim.
Nem perco meu tempo com uma questão dessa...
Pelo comentário do Guilherme Luz dá para entender a resolução! O da Amanda Bernardes também é uma forma muito boa de se resolver, até mais simples de entender, eu diria.
Acompanhei o raciocínio do Guilherme Luz até a hora que ele resolve substituir o a13 e o a8 na fórmula...
a13=a8+(13-8)*r (trocou o "a1" pelo "a8", então substituiu o "- 1" pelo "- 8")
como da pra fazer isso se a fórmula num tem a8?
an = a1 + (n - 1) r
No lugar do "a1" na fórmula não tem problema colocar outro termo, contanto que se substitua o "-1" pelo número do termo que se colocar no lugar do "a1" ===> na fórmula existe o "- 1 " porque se trata do "a1". Se fosse o "a20" seria "-20". Podem observar no final da resolução do Guilherme:
a20=a13+(20-13)*r => a20=82+7*11=82+77=159 (onde estaria o "a1" está o "a13" e no lugar do "- 1 " está o "- 13"
TEM QUE USAR AS DUAS FORMULAS DA PA:
1º descobrir o a15 e o a25 ---> an= a1 + (n-1) x r --->
a15= a1 + (15-1).r => a1 + 14r e o a25= a1+ (25-1) x r --> a25= a1+24r
2º Faz as somas do a15 e a25:
Sn= (a1+an).n/ ---> S15 (405)= (a1+a1+14r).15/2 --> 405=2a1 + 14r .15/2 --> 405x2= 2a1 + 14r .15 -->
810/15=2a1 + 14r --> 54=2a1 + 14r
Sn= (a1+an).n/ --> S25 (2050)= (a1+a1+24r).25/2 -->2050= 2a1 + 24r.25/2 --> 2050.2= 2a1 + 24r.25 -->
4100/25= 2a1 + 24r --> 164= 2a1 + 24r
3º parte achar o r:
54=2a1 + 14r . (-1) => -54=-2a1 - 14r
164= 2a1 + 24r = 110= 0+ 10r => r= 110/10= 11
4º parte substituir um dos termos para achar o a1:
54=2a1 + 14r --> 2a1 + 14.11= 54 --> 2a1+ 154=54
2a1= 54 - 154 --> 2a1= -100 --> a1= -100/2 = a1= -50
5º parte achar o 20º termo a20:
an= a1 + (n-1) x r ---> a20= -50 + (20-1) . 11 --> a20= -50 +19 . 11 --> a20= -50 + 209 -->
a20= 159
LETRA "A"
Questão fácil... Porém trabalhosa!!!
A20 = AN + (20-N)*R, então, para aplicar a fórmula, temos que encontrar pelo menos um termo da P.A. e a razão:
TERMOS MÉDIOS:
A8 = (A1+A15)/2 = 27
A13 = (A1 + A25)/2 = 82
(OBS.: PARA ENCONTRAR "A1+A15" E "A1+A25", FAZ-SE: S = ((A1 + A15)*15)/2 E
S = ((A1 + A25)*25)/2 )
PARA ENCONTRAR A RAZÃO:
A13 = A8 +5*R ----> 82 = 27 +5*R -----> R=11.
PARA ENCONTRAR O A20:
A20 = A8 + 12*R -----> A20 = 27 + 12*11 = 159
GAB. A
SEMPRE! QUANDO ELE DER A SOMA DO NÚMERO DE TERMOS, BASTA DIVIDIR A SOMA PELO NÚMERO DE TERMOS:
SENDO ASSIM:
1°INFORMAÇÃO
405 = SOMA
15 = N° DE TERMOS
405/15 = 27---> ESSE É O NÚMERO DO MEIO DOS TERMOS DE 1 A 15, OU SEJA, A8 = 27
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ---> 15 TERMOS ONDE A SOMA DELES É 405
27
2º INFORMAÇÃO
2050 = SOMA
25 N° DE TERMOS
2050/25 = 82---> ESSE É O TERMO DO MEIO DE 25 TERMOS:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 25 TERMOS, ONDE A SOMA DELES É 2050
82
RESOLÇÃO:
AGORA PRECISAMOS ENCONTRAR A RAZÃO
A13 = A8 +5R
82 = 27+5R
5R = 82-27
5R = 55
R = 55/5
R=11
AGORA PODEMOS ENCONTRAR O VALOR DE QUALQUER TERMO DA PA.
A20 = A13+7R
A20 = 82 + 7.11
A20= 82 + 77
A20=159
Guilherme Luz, muito obrigado pelo comentário, aprendi até outras pequenas regrinhas da P.A. com o teu comentário. VALEU MEU MANO!!!!!
Abraços e bons estudos!!!
S25 - S15 = 2050 - 405 = 1645
Esse valor compreende a soma de A16 até A25, que são 10 termos. Se o número de Termos é ímpar, temos um termo central, caso contrário, teríamos dois termos centrais. No caso, os termos centrais são 20 e 21, e a média está entre eles.
Média= 1645/10 = 164,5
A20 < 164,5 < A21
Olhando as alternativas, a única possibilidade é a alternativa "a".
Não é uma resposta exata, mas a banca permitiu esse raciocínio a deixar apenas uma possibilidade como resposta. Se o número de termos fosse ímpar (por exemplo, de A15 a A25), obteríamos o valor exato do termo central.