Alternativa correta: C — 6

Tema central: trata-se de transformações polinomiais usadas em georreferenciamento/ajuste geométrico de imagens/vetores. Saber quantos pontos de controle mínimos são necessários exige compreender quantos coeficientes a transformação possui e quantas equações cada ponto fornece.

Resumo teórico: uma transformação polinomial bidimensional de grau n tem, por coordenada, (n+1)(n+2)/2 coeficientes (polinômio em x e y). Para n = 2: (2+1)(2+2)/2 = 6 coeficientes para x' e 6 para y', totalizando 12 incógnitas. Cada ponto de controle corresponde a duas equações (uma para x' e outra para y'), portanto o número mínimo de pontos = 12 equações / 2 = 6 pontos.

Justificativa da alternativa correta: a transformação quadrática em 2D usa as formas

x' = a0 + a1 x + a2 y + a3 x² + a4 xy + a5 y²
y' = b0 + b1 x + b2 y + b3 x² + b4 xy + b5 y²

Há 6 coeficientes a0…a5 por componente; com 6 pontos de controle obtemos 12 equações suficientes para resolver os 12 coeficientes (sistema linear). Assim, 6 é o mínimo.

Análise das alternativas incorretas:

A — 2: insuficiente; 2 pontos geram apenas 4 equações, muito abaixo do necessário.

B — 3: também insuficiente; 3 pontos → 6 equações, ainda menor que as 12 incógnitas.

D — 10: 10 pontos dão 20 equações (é possível para ajuste por mínimos quadrados), mas não é o mínimo exigido.

E — 12: 12 pontos geram 24 equações; redundante para solução exata — 12 é o número de coeficientes totais (equações necessárias), não de pontos mínimos.

Dica de prova / interpretação: calcule primeiro o número de coeficientes por coordenada com (n+1)(n+2)/2; depois lembre que cada ponto fornece duas equações (x e y). Atenção às pegadinhas que confundem “número de coeficientes totais” com “número mínimo de pontos”.

Observação prática: os pontos devem estar bem distribuídos (não colineares) para evitar matrizes singulares; em geral recomenda-se usar mais que o mínimo e aplicar ajuste por mínimos quadrados para reduzir erros.

Fontes: ESRI Help — "Polynomial transformations" (ArcGIS); Bolstad, P. (2016) GIS Fundamentals — capítulos sobre georreferenciamento e transformações polinomiais.

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