Comentário do Gabarito – Função Homogênea

Nesta questão, o elemento central é o entendimento da propriedade de função homogênea. O enunciado afirma que, para todo número real $x$, vale:

$f\left(\frac{1}{2}x\right)=\frac{1}{2}f\left(x\right)$

Funções homogêneas de grau 1 possuem a seguinte propriedade fundamental:

Para todo número real $k$: $f\left(kx\right)=kf\left(x\right)$

O enunciado também fornece $f\left(\frac{1}{4}\right)=3$ e pede $f\left(1\right)$.

Aplicando a propriedade de homogeneidade para $x=\frac{1}{4}$ e $k=4$, temos:

$f(4\times \frac{1}{4})=4f\left(\frac{1}{4}\right)$

Como $4\times \frac{1}{4}=1$, segue que:

$f\left(1\right)=4f\left(\frac{1}{4}\right)$

Sabendo que $f\left(\frac{1}{4}\right)=3$:

$f\left(1\right)=4\times 3=12$

Alternativa correta: E) 12.

Orientações e Pegadinhas:
Observe que a chave está no reconhecimento da homogeneidade. Muitos distratores simulam respostas usando valores de $x$ diferentes ou erradas proporções.
A estratégia correta é aplicar a propriedade geral:
$f\left(kx\right)=kf\left(x\right)$

Esse tipo de questão é recorrente em provas por exigir compreensão conceitual, não só cálculo mecânico. Ao identificar a homogeneidade, você rapidamente isola a incógnita pedida, evitando distrações.

Resumo teórico:
Função homogênea de grau n: $f\left(kx\right)=k^{n}f\left(x\right)$.
Neste caso, n = 1.

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