Gabarito comentado:

Para determinar o período da função f(x) = 2tan( x/5 − π/3 ), é essencial entender o comportamento da função tangente e suas transformações.

1. Definição Fundamental: A função tangente, $y=tan\left(x\right)$, possui período fundamental $\pi$. Isso significa que $tan(x+\pi )=tan(x)$.

2. Transformação de Período: Para funções do tipo $tan(bx-c)$, o período é ajustado pela fórmula:

$P=\frac{\pi }{\left|}$

No caso da função $f\left(x\right)=2tan(\frac{x}{5}-\frac{\pi }{3})$, temos $b=\frac{1}{5}$.

Aplicando a fórmula:

$P=\frac{\pi }{\left|}=\frac{\pi }{\frac{1}{5}}=5\pi$

Portanto, o período é 5π.

Cuidados e Pegadinhas:

• O termo $-\frac{\pi }{3}$ representa apenas um deslocamento horizontal e não altera o período. Sempre atente para distinguir o coeficiente em x (que afeta o período) do termo constante (que só desloca o gráfico).
• Alternativas que apresentavam $\pi$ ou $2\pi$ são típicos de funções seno e cosseno ou da tangente sem transformação, importantes para não confundir.

Consultando obras como “Fundamentos de Matemática Elementar – Trigonometria” (Iezzi et al.) ou “Matemática: Contexto e Aplicações” (Dante), percebe-se que a variação no coeficiente de x é o principal fator para alteração do período em funções trigonométricas.

Resposta correta: letra A) 5π

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