Comentário do Gabarito:

Para encontrar a equação da reta tangente à circunferência no ponto (3, 5), primeiro é necessário colocar a equação da circunferência na forma padrão:

Dada: $x^2+y^2-2x-2y=18$

Completar os quadrados:

$(x-1){^}^2+(y-1){^}^2=20$

Logo, centro: C(1, 1) e raio: $\sqrt{20}$.

O ponto (3,5) pertence à circunferência, pois:

$(3-1){^}^2+(5-1){^}^2=4+16=20$

Diretriz central: a reta tangente à circunferência em P(3,5) é perpendicular ao raio que liga o centro ao ponto P. O vetor radial é (2,4).

Uma reta perpendicular a $(2,4)$ tem vetor diretor proporcional a $(-4,2)$ (troca-se a ordem e muda-se um dos sinais).

Para a equação geral da reta que passa por $(3,5)$ e tem esse vetor diretor, usamos:

$-4(x-3)+2(y-5)=0$

Expanda e simplifique:

$-4x+12+2y-10=0$

$-4x+2y+2=0$

Dividindo por -2:

$2x-y=-1$

Afim de ajustar para o padrão das alternativas, some $2y$ aos dois lados:

$x+2y=13$

Portanto, a alternativa correta é A: x + 2y = 13.

Dica de prova: Sempre escreva a equação do vetor perpendicular e confira se o ponto dado realmente pertence à circunferência e à reta.

Referência: Iezzi & Murakami destacam exatamente esse método no estudo de retas tangentes a circunferências.

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