Resolução comentada:

O problema exige aplicação de propriedades clássicas da Geometria Plana, mais especificamente do Teorema de Pitágoras e de semelhança de triângulos.

Primeiro, vamos encontrar o comprimento do cateto AC:

Sabemos que a hipotenusa $\mathrm{BC}$ mede $2\sqrt{5}$ cm e o cateto $\mathrm{AB}$ mede $2$ cm. Pelo Teorema de Pitágoras:

${\mathrm{BC}}^2={\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2$

$2^{\sqrt{5}}=2^2+{\mathrm{AC}}^2$

$20=4+{\mathrm{AC}}^2$

${\mathrm{AC}}^2=16$, então $\mathrm{AC}=4$ cm.

O ponto D está em $\mathrm{AC}$ tal que $\mathrm{BD}=\mathrm{CD}$. Vamos buscar a medida BD (chame de $x$).

Posicionando $A$ em $(0,0)$, $B$ em $(2,0)$ e $C$ em $(0,4)$. Ponto $D$ terá coordenadas $(0,d)$ com $0<d<4$.

Calculando as distâncias:

BD: $\sqrt{{(}^2+{(}^0}$ = $\sqrt{4+d^2}$

CD: $\sqrt{{(}^0+{(}^4}$ = $|4-d|$

Igualando as distâncias, pois $\mathrm{BD}=\mathrm{CD}$:

$\sqrt{4+d^2}=|4-d|$

Como $0<d<4$, $|4-d|=4-d$. Elevando os dois lados ao quadr