Análise e Comentário:

Para resolver esta questão, aplicamos o Teorema de Viète, fundamental no estudo das equações polinomiais de 2º grau. Esse teorema relaciona os coeficientes da equação quadrática $x{2}^{}+bx+75=0$ com suas raízes.

Passo a passo:

1. Definindo as raízes: Uma raiz é 5 e a outra é um múltiplo de 5. Seja a segunda raiz $k\cdot 5$, com $k$ inteiro.

2. Produto das raízes (pelo Teorema de Viète):

$5\cdot k\cdot 5=75$
$25k=75$
$k=3$

A outra raiz é 15.

3. Soma das raízes (Teorema de Viète):

$x+y=-b$, em que $x$ e $y$ são as raízes.

Assim:

$5+15=-b$ → $20=-b$ → $b=-20$

Alternativa correta: E) –20

Vale destacar: se o candidato esquecesse do sinal negativo ao aplicar a soma das raízes, marcaria 20 (alternativa A), um erro clássico. Essa é uma pegadinha comum em concursos! Sempre confira o sinal nas relações de Viète: soma das raízes é sempre o oposto do coeficiente b no polinômio padrão.

Resumo Teórico-Chave para Concursos:
Equação padrão: $a{x}^2+bx+c=0$
Soma das raízes: $x+y=-\frac{b}{a}$
Produto das raízes: $x\cdot y=\frac{c}{a}$

Essas relações são amplamente cobradas em provas e estão bem detalhadas em obras como Iezzi e Dante.

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