não consegui entender, se alguém puder explicar por favor.

Para resolver este problema de contagem/coloração de grafos, analisamos as conexões (fronteiras por linha) entre as regiões do mapa:

• X faz fronteira com Y e W.
• Y faz fronteira com X e Z.
• Z faz fronteira com Y e W.
• W faz fronteira com X e Z.
• (Note que a interseção central é um ponto/cruzamento, portanto X e Z não compartilham linha de fronteira, assim como Y e W também não).

Podemos dividir a contagem em dois casos, baseando-nos no par oposto (X, Z):

1. Colorir X: Temos 4 opções de cores.
2. Colorir Z: Como Z deve ter a mesma cor de X, há apenas 1 opção.
3. Colorir Y: Y faz fronteira com X e Z. Como ambos têm a mesma cor, resta apenas 1 cor proibida para Y, nos dando 3 opções.
4. Colorir W: W faz fronteira com X e Z. Pelos mesmos motivos, temos 3 opções para W.

Maneiras (Caso 1) = 4 x 1 x 3 x 3 = 36

1. Colorir X: Temos 4 opções de cores.
2. Colorir Z: Como Z deve ter cor diferente de X, temos 3 opções.
3. Colorir Y: Y faz fronteira com X e Z (que agora têm cores distintas). Logo, 2 cores estão proibidas, restando 2 opções para Y.
4. Colorir W: W faz fronteira com X e Z (2 cores distintas proibidas), restando 2 opções para W.

Maneiras (Caso 2) = 4 x 3 x 2 x 2 = 48

Somando as possibilidades dos dois casos:

Total = 36 + 48 = 84

Fonte: Gemini