Em uma análise de determinada entidade sobre 100 empresas ...
- 60 possuem projetos de inovação; - 50 possuem experiência em exportação; e - 45 recebem incentivos fiscais.
Sabe-se que todas as empresas analisadas possuem ao menos uma dessas características. Além disso:
- 30 empresas possuem projetos de inovação e experiência em exportação; - 25 possuem inovação e incentivos fiscais; e - 20 possuem experiência em exportação e incentivos fiscais.
O número de empresas que apresentam, simultaneamente, as três características citadas é:
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Gabarito C)
100 empresas no total.
60 + 50 + 45 = 155 (somei os totais de inovação, exportação e fiscal)
30 + 25 + 20 = 75 (somei os conjuntos)
155 - 75 = 80
100 - 80 = 20
Temos três conjuntos:
- (I): inovação = 60
- (E): exportação = 50
- (F): incentivos fiscais = 45
Interseções dadas:
- (I \cap E = 30)
- (I \cap F = 25)
- (E \cap F = 20)
E todas as 100 empresas possuem pelo menos uma característica:
[
|I \cup E \cup F| = 100
]
Queremos encontrar:
[
x = |I \cap E \cap F|
]
[
|I \cup E \cup F|
= |I| + |E| + |F|
- |I \cap E|
- |I \cap F|
- |E \cap F|
- |I \cap E \cap F|
- ]
Substituindo os valores:
[
100 = 60 + 50 + 45 - 30 - 25 - 20 + x
]
[
100 = 155 - 75 + x
]
[
100 = 80 + x
]
[
x = 20
]
✅ Gabarito: C) 20.
Macete para prova: quando são dados os totais dos três conjuntos, das interseções dois a dois e da união, basta aplicar diretamente o Princípio da Inclusão-Exclusão. Nesse tipo de questão, a interseção tripla costuma aparecer isolada em uma única equação.
GABARITO: letra "C"
Total de empresas: 100
Inovação: 60
Exportação: 50
Incentivos Fiscais: 45
Inovação e Exportação: 30
Inovação e Incentivos Fiscais: 25
Exportação e Incentivos Fiscais: 20
Vamos começar somando o total de cada conjunto, temos:
60 + 50 + 45 = 155
Como existem apenas 100 empresas, esse valor deu 155 porque contamos as empresas de forma repetida. Quem está nas interseções de 2 grupos foi contado 2 vezes. E o valor do meio ('X', que faz as 3 coisas), acabou sendo contado 3 vezes (uma em cada grupo).
Para encontrarmos o valor sem essas repetições, somamos as interseções duplas e subtraímos do total:
30 + 25 + 20 = 75
155 - 75 = 80
Quando nós tiramos esses 75, corrigimos a contagem. Quem foi contado 2 vezes perde 1 contagem e passa a valer apenas uma vez (" o valor puro"). Porém, como o X estava inserido dentro das três interseções duplas, ao tirar 75 tiramos o X três vezes. Como ele tinha sido somado 3 vezes no início e agora foi tirado 3 vezes, o X sumiu completamente dessa conta e passou a valer zero.
Logo, esse 80 representa o total de empresas, mas deixando o grupo do meio de fora.
Então, se o enunciado diz que existem 100 empresas, e a conta deu 80, o que ficou de fora é o valor de X (que é o valor do meio).
100 - 80 = 20
20 empresas - Apresentam as três características simultaneamente.
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