1. O nosso século, que se iniciou e tem se desenvolvido sob a insígnia da civilização industrial, primeiro inventou a máquina e depois fez dela o seu modelo de vida. (CORRETA)
2. O nosso século, que se iniciou e tem se desenvolvido, sob a insígnia, da civilização industrial primeiro inventou a máquina e depois fez dela o seu modelo de vida. (ERRADO, AS VÍRGULAS SEPARAM SUJEITO DE PREDICADO E COMPLEMENTO NOMINAL DA LOCUÇÃO ADJETIVA)
3. O nosso século que se iniciou e tem se desenvolvido sob a insígnia da civilização industrial, primeiro inventou a máquina, e depois fez dela, o seu modelo de vida. (ERRADO, SUJEITO E PREDICADO ESTÃO SEPARADOS)
4. O nosso século que se iniciou, e tem se desenvolvido, sob a insígnia da civilização industrial, primeiro inventou a máquina e, depois fez dela o seu modelo de vida. (ERRADO, SUJEITO E PREDICADO SEPARADOS, ALÉM DE EXCESSO DE PAUSA PROVOCADO POR VÍRGULA ANTES DO “E”)
5. O nosso século que se iniciou, e tem se desenvolvido sob a insígnia da civilização industrial primeiro, inventou a máquina e depois, fez dela o seu modelo de vida. (ERRADO, SUJEITO E PREDICADO SEPARADOS VÍRGULA INADEQUADA ANTES DE “E”)

Resposta: A

Essa tá fácil!   ;) Letra A
" ,que se iniciou e tem se desenvolvido sob a insígnia da civilização industrial," esta entre vírgulas para evitar a repetição do termo "o nosso século" pois existe a fusão de suas frases:
1- "O nosso século primeiro se inventou a máquina e depois fez dela o seu modelo de vida." e
2 - "O nosso século se iniciou e tem se desenvolvido sob a insígnia da civilização industrial."
Se eu estiver equivocada, corrijam! A vírgulas usadas na frase A se justifica por "que se iniciou e tem se desenvolvido sob a insígnia da civilização industrial" trata-se de uma oração subordinada adjetiva explicativa. 

Ou seja, está se fazendo uma explanação sobre o século que vivemos (nosso século). 

Ao contrário do que o amigo acima falou, a fuga da repetição não se justifica pelo uso das vírgulas, mas pelo uso do pronome relativo "que".

Tanto é assim que se tratase de uma oração subordinada adjetiva restritiva, ou seja, que visa restringir especificar e distinguir, o que não acontece na questão, posto que não há mais de um "nosso século", o pronome "que" ainda evitaria a repetição, mas as vírgulas sumiriam sem alterar o texto, somente o sentido.

Exemplos:

O homem, que é ser racional, vem ampliando seus conceitos. (A vírgula separa uma explanação - Or. Subord. Adjetiva Explicativa)
O homem que acorda cedo corre todos os dias. (Aqui há uma restrinção, não é todo homem que corre todos os dias, mas aquele que acorda cedo, logo não há o uso de vírgulas - Or. Subord. Adjetiva Restritiva)


Para a resolução das demais alternativas, basta lembrar que nunca se deve separa sujeito de verbo, ou seja, a oração
"O nosso século primeiro inventou a máquina" não poderia nunca separada por vírgulas, uma vez que encontra-se na ordem direta "sujeito+verbo+complemento". O uso da vírgula entre essa oração só seria possível para isolar termo, aposto por exeemplo, ou outra oração como ocorre na alternativa A.

Olá Pessoal! 

Lembro que a oração principal do período, na ordem direta, é " O nosso século primeiro inventou a máquina e depois fez dela o seu modelode vida". A oração " que se iniciou e tem se desenvolvido sob a insígnia da civilização industrial" é introduzida na oração principal, assim posta corretamente entre vírgulas.

O nosso século, que se iniciou e tem se desenvolvido sob a insígnia da civilização industrial, primeiro inventou a máquina e depois fez dela o seumodelo de vida.

Na minha opnião o trecho em destaque é um aposto, então as vírgulas estão isolando o aposto.

Letra A.

O nosso século, que se iniciou e tem se desenvolvido sob a insígnia da civilização industrial, primeiro inventou a máquina e depois fez dela o seu modelo de vida.

Analisei da seguinte maneira:

1º O nosso século inventou a máquina e fez dela modelo de vida (não existe vírgula entre suj e verbo ,e entre verbo e complemento);

2º Um aposto explicativo exige vírgulas.

Esse vídeo pode ajudar: https://www.youtube.com/watch?v=1_6szMzYcis