A respeito da correção gramatical dos trechos apresentados ...

Há inadequações quanto à crase (ausência de marcação dela), concordância verbal e nominal. Assinalemos em vermelho.

"Esclarecemos a todos os servidores, colaboradores e visitantes desta Instituição que, devido a pandemia de covid-19, é obrigatório o uso de máscara de proteção no interior do prédio, não sendo permitido a entrada no mesmo daqueles que não a estejem usando."

Devido à → deve-se marcar a crase porque o substantivo "devido" rege preposição "a" e o substantivo "pandemia" é feminino e está determinado pelo artigo "a";

Permitida → o substantivo "entrada" está terminado, de modo que o adjetivo deve flexionar-se no feminino;

Estejam → a terceira pessoa do plural do verbo "estar" é "estejam". A inexistente forma verbal "estejem" é um barbarismo, tipo de vício de linguagem.

Obs.: Evanildo Bechara, em sua Moderna Gramática Portuguesa, p. 175, ensina que alguns estudiosos, por mera predileção pessoal, contrariam o uso anafórico do pronome demonstrativo "mesmo". Por exemplo: consideram inadequadas frase do tipo: "O enfermeiro assistiu a vítima a fim de verificar se a mesma estava bem". No entanto, o professor registra que esses puritanos nem sequer apresentam as razões da crítica. Para estes, o pronome "mesmo" deve ser trocado por "ele(s)" ou "ela(s)", o que foi totalmente ignorado por nosso maior escritor, Machado de Assis, nesta passagem:

"Os diretores presos tiveram habeas corpus. Apareceu um relatório contra os mesmos, e contra outros..."

À vista disso, está correta a passagem textual trazida no enunciado em que consta registro de uso do pronome demonstrativo "mesmo" em referência anafórica. Os erros se alojam nos elementos destacados em vermelho.

Errado.

Esse "no mesmo" também não estaria errado?

Esclarecemos a todos os servidores, colaboradores e visitantes desta Instituição que, devido a pandemia de covid-19, é obrigatório o uso de máscara de proteção no interior do prédio, não sendo permitido a entrada no mesmo daqueles que não a estejem usando. Resposta: Errado.

(...), não sendo PERMITIDA a entrada daqueles que não a ESTEJAM usando.

DA covid19

não bastando os anteriores, ele ainda fecha com um "estejem". Socooooorro.

É até vergonhosa uma questão dessa com erros gigantescos. Se fosse do ano de 2001 ou próximo disso, ok.....mas 2021.....

estejem foi sacanagem