Considere a progressão geométrica finita (a 1 , a 2 , a 3 ,....

a7 = 64.a4
a7 = a4.2⁶
a7 = a4.q³
q³ = 64
q = 4
Se a1 é a metade da razão, então a1 = 2
Logo, a12 = 2.4¹¹
a12 = 2.2²² ou 2²³
Gabarito D

Carlos como você achou a razão q dessa PG?

Graziela,  a7 - a4 é igual ao expoente da razão . Substituindo, q^3 corresponde a 64, q = 4.

a7=64.a4

a1.q6=2^6.a1.q3

2^6=a1.q6/a1.q3

2^6=q6-3

2^6=q3

q=3√2^6

q=2^2

a12=a1.q^11

a12= 2.(2^2)^11

a12=2.2^22= 2^23

Achei muito confuso as explicações desses comentários, então procurei na internet e achei uma explicação melhor.

Texto retirado daqui = https://s3-us-west-2.amazonaws.com/estrategia-blog/2015/03/Resolu%C3%A7%C3%A3o-da-prova.pdf

O primeiro termo vale metade da razão, ou seja, a1 = q/2.

O sétimo termo é a7= 64 x a4.

Sabemos que para ir de a4 até o a7 precisamos multiplicar 3 vezes pela razão, ou seja, a7 = a4 x q^3.

Comparando essa expressão com a7= a4 x 64, vemos que:

q^3= 64
q^3=4^3, logo

q = 4 

Então, a1= q/2 = 4/2 = 2.

O 12º termo dessa progressão é só jogar na formula básica de P.G.:

an= a1x q^(n-1)

a12= 2 x 4^(12-1)
a12= 2 x 4^11
a12= 2 x (2^2)^11
a12 = 2 x 2^22
a12 = 2^23

Letra: D

Veja o vídeo que gravei com a resolução dessa questão:

https://youtu.be/-7vSe1gkIgc

Professor Ivan Chagas

Excelente explicação do prof. Chagas (youtube).

Vamos começar: A questao diz:  A7 = 64 . A4      e      A1 = Q/2, QUAL O VALOR DE      A12?

An = A1 . Q^n-1 

A7 = A1 . Q^6

64 . A4 = A1 . Q^6

A4 = A1 . Q^6 / 64

A1 . Q^3 = A1 . Q^6 / 64         Elimina os valores em negrito

1 = Q^3 / 64

Q = 4

LOGO:  A1 = Q/2

             A1 = 2

 

PORTANTO: An = A1 . Q^n-1 

                     A12 = 2 . 4 ^11       Desmebrando esse calculo vamos ter: 2 elevado a 1, vezes 2 elevado a 22 

                     A12 =  2 ^23   

 

 

Muito boa a explicação do professor Chagas no You Tube.

 

a1=q/2

a7=64.a4

a7=a1.q^6

a4=a1.q^3

a1.q^6=a1.q^3 . (64)

q^3=64

q=4

a1=2

a12=2.(2^2)^11

a12=2^23

Olá pessoal,
 
Vejam o vídeo com a resolução dessa questão no link abaixo
https://youtu.be/KooiewbLM0s
 
Professor Ivan Chagas
www.gurudamatematica.com.br

a1=q/2

termo geral: a1xq^n-1

a7=64xa4 --->a7=a1xq^6

a4=a1xq^3

a7= 64.a4

a1.q6=64.a1.q^3(corta os a1)

q6=64.q^3(passa o q3 pro outro lado)

q6/q3=64( subtrai os expoentes)

q3=64(64 é 4^3= 4x4x4=64)

q=4

a1=4/2=2

termo geral novamente

a1xq^12-1

2x4^11

2^1x(2^2)^11( 4 é 2^2, agora multiplique os expoentes 11 e 2)

2^1x2^22

2^23

prof chagas é excelente

a⁷ = a¹ * q⁶

a⁴ = a¹ * q³

Enquanto eu não coloquei isso na cabeça não consegui resolver esse tipo de questão.

A formula para achar um termo n em uma P.G é an = a1 . an-1

Sabemos que a1 = q/2 podemos encontrar então o valor de a4 e a7 de uma forma um pouco mais exata

a4 = a1 . q^3 vira a4 = q/2 . q^3

a7 = a1 . q^6 vira a7 = q/2 . q^6

Sabemos também que a7 = 64 . a4, reescrevendo a formula com o valor que encontramos para a4

A7 = 64 . q/2 . q^3

E reescrevendo a formula com o valor que encontramos para a7 temos

q/2 . q^6 = 64 . q/2 . q^3

q^6 = 64 . q^3

q^3 = 64

4^4 = 64

q = 4

a12 = a1 . q^12-1

a12 = 2 . 4^11

a12 = 2 . (2^2)^11

a12 = 2 . 2^22

a12 = 2^23

De acordo com enunciado tem-se:
termo geral da progressão geométrica: a_n = a₁ x q^n-1
Como a₁ = q/2, tem-se:
a₄ = q/2 x q^4-1 = q/2 x q³ = q⁴/2
a₇ = q/2 x q^7-1 = q/2 x q⁶ = q⁷/2

Como a₇ = 64 x a₄ , substitui-se pelo valores encontrados:
q⁷/2 = 64 x q⁴/2
q⁷ = 64 x q⁴
q³ = 64
q = 4

Finalmente,
a₁₂ = q/2 x q^12-1 = 2 x 4¹¹ = 2 x 2²⁽¹¹⁾ = 2 x 2²² = 2²³


Resposta D)