Tema central: Crase (fusão da preposição "a" + artigo definido feminino "a", indicada pelo acento grave: à). A questão cobra o domínio da regra de emprego do acento indicativo de crase diante de pronomes e expressões femininas conforme a norma-padrão e a regência verbal ou nominal.

Regra essencial: Ocorre crase se: o termo anterior exige a preposição "a" (agarradas a boca, aspirar a vaga) e o termo posterior aceita o artigo feminino "a" (a boca, aquela vaga, sua disposição).

Segundo Evanildo Bechara (Gramática Normativa da Língua Portuguesa): “Emprega-se a crase sempre que houver fusão entre a preposição ‘a’ exigida pelo termo antecedente e o artigo feminino ou pronome ‘a’ exigido pelo termo consequente.” (p. 339).

Análise da alternativa correta:

A) Tranquilize-se, aspiro àquela vaga específica, e não à sua.
O verbo aspirar no sentido de "desejar" exige a preposição a. “Aquela” e “sua” são pronomes femininos que aceitam o artigo a. Logo: àquela (a + aquela) / à sua (a + a sua). Idêntico ao emprego destacado no texto (agarradas à boca).

Portanto, alternativa correta.

Análise das alternativas incorretas:

B) "Dirigiu-se à minha casa" — Correta quanto ao uso da crase (regência de “dirigiu-se” + “minha casa”, feminino), mas não corresponde exatamente à dinâmica do modelo (“aspirar” + pronome demonstrativo).

C) "Colocou-se à sua disposição" — Também está correto (colocar-se a + sua disposição), porém a opção indicada pela banca busca correspondência na construção com pronomes demonstrativos.

D) "Convocaria à qualquer pessoa" — Errada. Nunca ocorre crase antes de pronome indefinido (“qualquer”), pois não aceita artigo feminino “a” (Gramáticas: Cunha & Cintra, Bechara).

Estratégia para a prova: Fique atento se o termo seguinte aceita artigo ("a") e se o verbo exige preposição. Cuidado com armadilhas antes de palavras masculinas/verbos/pronomes indefinidos — não use crase!

Resumo: Empregue crase quando há preposição “a” + artigo/pronome feminino “a”. Entenda sempre o sentido do verbo (regência) e classifique o termo seguinte. Estude construções usuais em regências (e pronomes).

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 A) Tranquilize-se, aspiro àquela vaga específica, e não à sua.  

 Correto. Verbo ''aspirar'', tendo como sentido ''almejar'', é transitivo indireto. A aglutinação a + aquela, cujo resultado é o fenômeno da crase, é justificável, correta e, sobretudo, obrigatória para que não incorramos em erro. Em contrapartida, no trecho ''e não à sua'' o uso do sinal é facultativo.

B) Dirigiu-se à minha casa, onde ficaria hospedado por alguns dias.

 Incorreto. Para não errar mais: NUNCA, EM HIPÓTESE ALGUMA haverá sinal indicativo da crase diante da palavra "casa" se não houver um termo modificador. No mais, à exceção desse caso, será acolhido o sinal  diacrítico.

Ex.1: Fui à casa da namorada anteontem.

Ex.2: No ponto de ônibus, segredei a um homem que meu sonho era ir à Casa Branca.

Ex.3: Você irá à Casa de Custódia hoje?

Ex.4: Esqueci as chaves, então retornei a casa para buscá-las. (Sem termo modificador, sem ocorrência da crase).

C) Diante de tal demanda, o funcionário colocou-se à sua disposição.

 Incorreto. Observo o erro tão somente em virtude da palavra ''obrigatoriedade'' contida no enunciado. Nessa alternativa, embora corretamente craseado o ''a'', poderia ter sido retirado o sinal sem quaisquer prejuízos, não havendo, portanto, obrigação. 

D) Convocaria à qualquer pessoa que atendesse aos requisitos descritos.  

Incorreto. Não se justifica o sinal, dado que há um pronome indefinido. Sempre que houver um pronome dessa natureza, não poderá existir o sinal diacrítico.

Gabarito A

b) Dirigiu-se à minha casa, onde ficaria hospedado por alguns dias. INCORRETA

Creio que essa afirmativa esteja errada, não pela construção, mas pelo pedido da assertiva que é quanto à obrigatoriedade do acento grave; ou seja, o seu uso é facultado antes de pronomes possessivos femininos, nomes próprios femininos e após a preposição essencial "até". Observe que o substantivo "casa" está qualificado pelo pronome possessivo feminino "minha". Também discordo da afirmação de que a expressão acento diacrítico (que é o acento agudo) possa ser utilizado para se referir ao acento grave, próprio nas ocorrência de crase.

É o que eu aprendi. Corrijam-me se houver incorreções.

Caro, Douglas!

Faço apenas uma correção no seguinte trecho do seu comentário: "Em contrapartida, no trecho ''e não à sua'' o uso do sinal é facultativo."

"e não à sua": neste caso a crase é obrigatória, pois o pronome "SUA" é, na ocasião, um pronome possessivo substantivo (já que substitui um substantivo)... a crase só é facultativa nos casos de pronomes possessivos adjetivos femininos no singular.

Ex.: Enviaram uma encomenda a (à) nossa residência, não à sua.

Nossa = pronome possessivo adjetivo (fica ao lado do substantivo “residência”, crase facultativa)

Sua = pronome possessivo substantivo (substitui o substantivo “residência”, crase obrigatória)

A observação feita pelo(a) último(a) comentador(a) está correta. De fato o SINAL DIACRÍTICO (termo correto, pois serve para designar tanto o acento grave, quanto o agudo e o circunflexo) é obrigatório. Por incúria de minha parte acabei por incorrer em erro. De qualquer maneira, a correção está feita.

Fabiano ria, tinha desejo de esfregar as mãos agarradas à boca do saco....

Fabiano RIA = VI 

Tinha desejo de = VTI

Agarradas à boca do saco = VTI (quem está agarrado, está agarrado A alguma coisa) + a do termo regido BOCA = A+A= À

A) Tranquilize-se, aspiro àquela vaga específica, e não à sua (VAGA).

Note que neste exemplo, a palavra "vaga" está subentendida! Neste caso, incorre em caso OBRIGATÓRIO.

Quem aspira, aspira A alguma coisa, logo VTI.