Se os erros ε têm distribuição normal bivariada com vetor de médias zero e matriz de covariância σ2I2​, onde I2​ é a matriz identidade de ordem 2, então o estimador de mínimos quadrados ordinários (OLS) para β em um modelo linear assume propriedades específicas.

O modelo linear é representado por:

Y=Xβ+ε

A estimativa de mínimos quadrados ordinários para β, denotada por β^OLS​, é dada por:

β^OLS=(XTX)−1XTY

A distribuição assintótica de β^​OLS​ é normal. Em particular, se ε segue uma distribuição normal multivariada com média zero e covariância σ2I2​, então a distribuição assintótica de β^OLS​ é normal multivariada com média β e matriz de covariância σ2(XTX)−1.

Portanto, se ε tem distribuição normal bivariada com matriz de covariância σ2I2​, então, para um número suficientemente grande de observações (nn grande), o estimador de mínimos quadrados ordináriosβ^​OLS​ segue uma distribuição normal multivariada com média β e matriz de covariância σ2(XTX)−1.

Em resumo, a distribuição assintótica do estimador de mínimos quadrados ordinários é normal multivariada com média β e matriz de covariância σ2(XTX)−1, onde σ2 é a variância dos erros e (XTX)−1 é a inversa da matriz de produtos cruzados dos regressores.