Solução:

Sistema Possível e Indeterminado (SPI): há infinitas soluções para o sistema. O determinante principal do sistema deve ser igual a zero e os determinantes secundários também.

x + y - z = 1

2x + 3y + z = 3

3x + 4y + kz = 4

Determinante principal: é encontrado a partir da matriz formada apenas pelo coeficientes das incógnitas do sistema

ﾠﾠﾠﾠﾠlﾠ1ﾠﾠﾠ1ﾠﾠﾠ-1ﾠl

Dﾠ=ﾠlﾠ2ﾠﾠﾠ3ﾠﾠﾠﾠ1ﾠlﾠﾠ= 0

ﾠﾠﾠﾠﾠlﾠ3ﾠﾠﾠ4ﾠﾠﾠﾠkﾠl

Regra de Sarrus (repetimos as duas primeiras colunas):

ﾠﾠﾠﾠlﾠ1ﾠﾠﾠ1ﾠﾠﾠ-1ﾠlﾠﾠ1ﾠﾠ1

D =ﾠlﾠ2ﾠﾠﾠ3ﾠﾠﾠﾠ1ﾠlﾠﾠ2ﾠﾠ3ﾠ= 0

ﾠﾠﾠﾠlﾠ3ﾠﾠﾠ4ﾠﾠﾠﾠkﾠlﾠﾠ3ﾠﾠ4

Multiplicamos as diagonais que têm 3 números, começando pela diagonal principal da matriz e colocando o sinal positivo em cada multiplicação, e depois multiplicamos a diagonal secundária com o sinal negativo em cada multiplicação:

1 * 3 * k + 1 * 1 * 3 + (-1) * 2 * 4 - 3 * 3 * (-1) - 4 * 1 * 1 - k * 2 * 1 = 0

3 k + 3 - 8 + 9 - 4 - 2k = 0

k + 12 - 12 = 0

k = 0

Assim, descobrimos que K = 0 e vamos substituir na matriz principal e testar os determinantes secundários para ver se todos também dão iguais a zero (condição para o ser SPI).

ﾠﾠﾠﾠﾠlﾠ1ﾠﾠﾠ1ﾠﾠﾠ-1ﾠl

Dﾠ=ﾠlﾠ2ﾠﾠﾠ3ﾠﾠﾠﾠ1ﾠlﾠﾠ

ﾠﾠﾠﾠﾠlﾠ3ﾠﾠﾠ4ﾠﾠﾠﾠ0ﾠl

Determinantes secundários: são aqueles relacionados a cada uma das incógnitas. Para encontrá-los, substituímos na matriz do determinante principal os valores das colunas das respectivas incógnitas pelos valores dos termos isolados (1,3,4). Por exemplo, para achar o determinante secundário x, tiramos a primeira coluna e colocamos os valores isolados (1,3,4); para achar o determinante secundário y, tiramos a segunda coluna e colocamos o valores isolados (1,3,4) e para achar o determinante secundário z, tiramos a terceira coluna e colocamos o valores isolados (1,3,4).

ﾠﾠﾠﾠﾠﾠlﾠ1ﾠﾠﾠ1ﾠﾠﾠ-1ﾠl

Dxﾠ=ﾠlﾠ3ﾠﾠﾠ3ﾠﾠﾠﾠ1ﾠlﾠﾠ

ﾠﾠﾠﾠﾠﾠlﾠ4ﾠﾠﾠ4ﾠﾠﾠﾠ0ﾠl

Regra de Sarrus:

ﾠﾠﾠﾠﾠlﾠ1ﾠﾠﾠ1ﾠﾠﾠ-1ﾠlﾠﾠ1ﾠﾠ1

Dx =ﾠlﾠ3ﾠﾠﾠ3ﾠﾠﾠﾠ1ﾠlﾠﾠ3ﾠﾠ3

ﾠﾠﾠﾠﾠlﾠ4ﾠﾠﾠ4ﾠﾠﾠﾠ0ﾠlﾠﾠ4ﾠﾠ4

Dx = 0 + 4 + (-12) - (-12) - 4 - 0

Dx = 4 - 12 + 12 - 4

Dx = 0

ﾠﾠﾠﾠﾠﾠlﾠ1ﾠﾠﾠ1ﾠﾠﾠ-1ﾠl

Dyﾠ=ﾠlﾠ2ﾠﾠﾠ3ﾠﾠﾠﾠ1ﾠlﾠﾠ

ﾠﾠﾠﾠﾠﾠlﾠ3ﾠﾠﾠ4ﾠﾠﾠﾠ0ﾠl

Regra de Sarrus:

ﾠﾠﾠﾠﾠlﾠ1ﾠﾠﾠ1ﾠﾠﾠ-1ﾠlﾠﾠ1ﾠﾠ1

Dy =ﾠlﾠ2ﾠﾠﾠ3ﾠﾠﾠﾠ1ﾠlﾠﾠ2ﾠﾠ3

ﾠﾠﾠﾠﾠlﾠ3ﾠﾠﾠ4ﾠﾠﾠﾠ0ﾠlﾠﾠ3ﾠﾠ4

Dy = 0 + 3 + (-8) - (-9) - 4 - 0

Dy = 3 - 8 + 9 - 4

Dy = 12 - 12

Dy = 0

ﾠﾠﾠﾠﾠﾠlﾠ1ﾠﾠﾠ1ﾠﾠﾠ1ﾠl

Dzﾠ=ﾠlﾠ2ﾠﾠﾠ3ﾠﾠﾠﾠ3ﾠlﾠﾠ

ﾠﾠﾠﾠﾠﾠlﾠ3ﾠﾠﾠ4ﾠﾠﾠﾠ4ﾠl

Regra de Sarrus:

ﾠﾠﾠﾠﾠlﾠ1ﾠﾠﾠ1ﾠﾠﾠﾠ1ﾠlﾠﾠ1ﾠﾠ1

Dz =ﾠlﾠ2ﾠﾠﾠ3ﾠﾠﾠﾠ3ﾠlﾠﾠ2ﾠﾠ3

ﾠﾠﾠﾠﾠlﾠ3ﾠﾠﾠ4ﾠﾠﾠﾠ4ﾠlﾠﾠ3ﾠﾠ4

Dz = 1 * 3 * 4 + 1 * 3 * 3 + 1 * 2 * 4 - 3 * 3 * 1 - 4 * 3 * 1 - 4 * 2 * 1

Dz = 12 + 9 + 8 - 9 - 12 - 8

Dz = 29 - 29

Dz = 0

Logo, k = 0 faz com que o determinante principal (D) seja igual a 0 , e os determinantes secundários x, y e z também sejam iguais a 0, satisfazendo todas as condições de um Sistema Possível e Indeterminado.

ALTERNATIVA C.

Fonte: Sistemas Lineares - Matreemática