Solução:

f(x) = sen (4x) + cos (8x)

Fazendo 4x = a , temos:

f(x) = sen a + cos 2a

Usando a diferença de arcos:

cos ( a - 2a ) = cos a * cos 2a + sen a * sen 2a

Precisamos fazer com que o cos a e o sen 2a sejam iguais, para colocá-los em evidência e sobrar somente cos 2a + sen a.

Qual ângulo a que tem o cosseno de a igual ao seno de 2a? Esse ângulo é o de 30º ou π/6. Pois o cosseno de 30º é igual ao seno de 60º = √3/2.

Então,

cos ( a - 2a ) = cos π/6 * cos 2a + sen a * sen 2π/6

cos ( a - 2a ) = √3/2 * cos 2a + sen a * √3/2

cos ( a - 2a ) = √3/2 ( cos 2a + sen a)

cos ( a - 2a ) / √3/2 = cos 2a + sen a

2/√3 * cos ( a - 2a ) = cos 2a + sen a

2√3/3 * cos ( a - 2a ) = cos 2a + sen a

Substituindo a = 4x:

2√3/3 * cos ( 4x - 8x ) = cos 8x + sen 4x

2√3/3 * cos ( - 4x ) = sen 4x + cos 8x

2√3/3 * cos ( - 4x ) = f(x)

Período da função:

P = 2π / módulo do coeficiente de x

P = 2π / I - 4 I

P = 2π / 4

P = π / 2

ALTERNATIVA A.

Obs: segui um exemplo parecido no canal Matemática para Iniciantes - Trigonometria. Exercício 5: calcule a imagem e o período de f(x) = sen x + cos x.

Tem uma forma símples de resolver essa questão. Sabemos que o período T é 2π/k, então pra primeira parte temos T1 = π/4 e para a segunda T2 = π/2.

Sabemos que o MMC de duas frações é o MMC dos numeradores divididos pelo MDC dos denominadores.

Agora é só calcular o MDC para os denominadores, pq o MMC dos numeradores é π e pronto, o período da função completa será π/2.

Alternativa A.