Uma empresa que opera em um mercado de concorrência perfeita...

Vamos analisar a questão sobre uma empresa operando em um mercado de concorrência perfeita. O objetivo aqui é determinar a quantidade de unidades produzidas quando a empresa atinge seu lucro máximo.

Em um mercado de concorrência perfeita, as empresas são tomadoras de preço, ou seja, vendem seus produtos a um preço determinado pelo mercado. O preço de mercado é dado como R$12,00.

Para maximizar o lucro, a empresa deve igualar o custo marginal (CMg) ao preço de mercado. O custo marginal é a derivada da função de custo total em relação à quantidade produzida (q).

A função de custo total dada é: \(C_r = \frac{q^3}{3} - 1,5q^2 + 8q + 2\).

Para encontrar o custo marginal, calculamos a derivada dessa função:

\(CMg = \frac{d}{dq}\left(\frac{q^3}{3} - 1,5q^2 + 8q + 2\right) = q^2 - 3q + 8\).

Igualamos o custo marginal ao preço para encontrar a quantidade que maximiza o lucro:

\(q^2 - 3q + 8 = 12\).

Resolvendo a equação: \(q^2 - 3q - 4 = 0\).

Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:

\(q = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\).

Substituindo os valores: \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = -4\):

\(q = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \times 1 \times (-4)}}{2 \times 1}\).

Calculando:

\(q = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2}\).

\(q = \frac{3 \pm 5}{2}\).

As soluções são \(q = 4\) ou \(q = -1\). Como a quantidade não pode ser negativa, a solução é q = 4.

Portanto, a alternativa correta é B - 4.

Analisando as alternativas incorretas:

• A - 3: Não maximiza o lucro porque \(CMg \neq 12\) para \(q = 3\).
• C - 5: Não maximiza o lucro porque \(CMg \neq 12\) para \(q = 5\).
• D - 6: Não maximiza o lucro porque \(CMg \neq 12\) para \(q = 6\).
• E - 7: Não maximiza o lucro porque \(CMg \neq 12\) para \(q = 7\).

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