Preencha as lacunas e assinale a alternativa correta.

Mostraremos que, se existir uma função f ∈ C² tal que satisfaz a equação de Laplace f  = 0 no disco unitário D ={(x,y) ∈ ²: x² + y² < 1} com a condição de bordo f (x,y) =  (x,y) para pontos (x,y) ∈ D, então tal função é única. De fato, suponha que f e g são duas soluções para a equação de Laplace com a condição de bordo descrita.

Mostraremos que devemos ter f (x,y) = g(x,y), para todo (x,y) ∈ D. Note que a função h(x,y) = f (x,y) − g (x,y) é de classe C² e que h = ________________, para todo ponto em D. Também temos que h (x,y) = 0, para todo (x,y) ∈ D.

Aplicando a identidade de Green, obtemos _D|h|² dA = −  _Dh hdA + hh., em que h denota o gradiente de h. Como h= 0 em D e h=0 emD, obtemos _D|h|² dA  = 0.

Sendo |h|² uma função não negativa, concluímos que h = . Como D é um conjunto __________________, concluímos que h deve ser __________________ em D. Uma vez que  h = 0 em D., segue que h é identicamente nula em D e que, portanto, f = g em D, como queríamos demonstrar.