Esse é o problema clássico do número de soluções naturais para uma equação: Na + Nb + Nc + Nd = 4

onde N é numero de bônus que cada um recebeu, que deve dar somado igual ao total de 4

• 4 números e 3 sinais de soma = Método das estrelas e barras

1º - Número de casos totais (incluindo um pessoa receber todos os bônus):

(4+3)! / 4! x 3! = 7! / 4! x 3! = 35

2º - Número de casos que uma pessoa recebeu 4 bônus e as outras 0.

é igual a 4

Resposta = 35 - 4 = 31

Esse exrcício pode ser resolvido somando todas as chances das combinações possíveis, quais sejam: {(3,1), (2,2), (2,1,1) e (1,1,1,1)}:

(3,1) = 4!/2! = 4.3 = 12

(2,2) = 4!(2!.2!) = 6 -> Nesse caso temos que considerar as repetições no arranjo dos bonus, pois como todos são iguais, ´indiferente qual bonus cada um recebeu, então se trata de uma combinação.

(2,1,1) = 4!(1!.2!) = 12 -> Como só a possibilidade de receber o bonus uma vez se repete, e como já sabemos não há diferença entre os bonus, portanto as repetições devem ser desconsideradas 2 vezes (2!).

(1,1,1,1) = 4!/4! = 1

Resultado: 12 + 6 + 12 + 1 = 31.

A B C D

3 3 3 3

2 2 2 2

1 1 1 1

0 0 0 0

30 MAIS UMA POSSIBILIDADE DE RECEBER NENHUM BONUS 1 = 31 hehehe

Muito boa a explicação do professor... kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk

Essa é uma questão de combinação com repetição (também chamada "estrelas e barras"),

Você tem 4 bônus idênticos (não importa qual bônus é qual, só importa quantos cada um recebe) para distribuir entre 4 colaboradores (A, B, C, D). Um colaborador pode receber 0, 1, 2, 3 ou até os 4 bônus — a única proibição é que uma pessoa não pode ficar com todos os 4.

Como os bônus são idênticos, isso não é uma questão de arranjo (ordem não importa), e sim de "quantas soluções inteiras não-negativas existem para a equação a + b + c + d = 4", onde a, b, c, d são as quantidades que A, B, C e D recebem.

Passo 1 — Total sem a restrição (fórmula de estrelas e barras)

Para distribuir n itens idênticos entre k pessoas (podendo alguém ficar com zero), a fórmula é:

C(n + k − 1, k − 1)

Aqui n = 4 (bônus) e k = 4 (pessoas):

C(4 + 4 − 1, 4 − 1) = C(7, 3) = 35

Então existem 35 formas de distribuir os 4 bônus sem nenhuma restrição.

Passo 2 — Retirar os casos proibidos

O problema diz que ninguém pode ficar com todos os 4 bônus. Quantas dessas 35 distribuições têm alguém com os 4? Isso só acontece quando uma única pessoa leva tudo e as outras ficam com zero. Como são 4 pessoas, existem exatamente 4 formas assim (A leva tudo, ou B leva tudo, ou C, ou D).

Passo 3 — Subtrair

35 − 4 = 31

Resposta: B) 31