Solução:

Pega os elementos da diagonal principal e subtrai de um A, para representar o autovalor:

| 3-A ----------- 1|

| 2 ------------ 4-A|

Agora é só multiplicar a diagonal principal e subtrair da multiplicação da diagonal secundária.

(3-A).(4-A) - 2.1 = 0

12 - 3A -4A +A^2 - 2 = 0

A^2 - 7A + 12 - 2 = 0

A^2 - 7A + 10 = 0

Delta = 7^2 - 4.1.10

Delta = 49 - 40

Delta = 9

x = [-b +- raiz (delta)] / 2.a

x = (7+- 3)/2.1

x' = (7 + 3)/2 = 10/2 = 5

x" = (7 - 3)/2 = 4/2 = 2

O menor autovalor é 2.

a-

3 1

2 4 * y * 1 0

    0 1

det (A - yI)

3 - y   1

2   4 - y

(3 - y) (4 - y) - 2

12 -3y -4y +y² -2

y² - 7y +10

7 +- 49 - 4.1.10 /2

7+-3 / 2

x' = 7+3 / 2 = 5

x''= 7-3 / 2 = 2

usado y em de lambda (λ)para agilizar

Podemos fazer encontrando o traço e o determiante

no caso o traço é o a soma da diagonal principal onde ela representará a Soma dos autovalores

o determinante representa o produto dos autovalores

S = 4 + 3 => S = 7

P = 4*3 - 2*1 => 10

então surge o sistema

a + b = 7

a*b = 10

isolando a, chegamos em a = 7 - b

substituindo a em a*b = 10

(7 - b) * b = 10

surge a equação quadrática b^2 - 7b +10 = 0

Resolvendo a equação, chegamos em dois autovalores, 2 e 5

conferindo no S e P

S = 7 => 2 + 5 = 7 Ok

P = 2 * 5 => 10 Ok